Polinomio mínimo de $\sqrt[3]{5}+\sqrt 2$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$

Question

<blockquote> <p>Encontrar el polinomio mínimo de $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$</p> </blockquote> <p><em>Tentativa:</em></p> <p>Que $u: = \sqrt [3] {5} + \sqrt {2} \\ u-\sqrt [3] {5} = \sqrt 2\\ (u-\sqrt [3] {5}) ^ 2 = \boxed{u^2-2\sqrt[3]{5}u+5^{2/3}-2=0}$ 2\\</p> <p>¿Es esto correcto? el "excedente $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$" me confunde</p>

Answer 1

Sí, es correcto. Por simplicidad, set $a=\sqrt[3]{5}$. Entonces $u=a+\sqrt{2}$ se convierte en $$ u-a = \sqrt {2} $$ u $$ tan ^ 2 2au + a ^ 2 = 2 $$ y el % de elemento $u$son una raíz de $X^2-2aX+a^2-2$ que es un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}(a)$.

Sin embargo, usted debe probar también que $u=a+\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(a)$, que es equivalente a $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(a)$.

Esto puede ser abordado teniendo en cuenta que $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=3$, por lo que el campo $\mathbb{Q}(a)$ no puede contener una extensión cuadrática del $\mathbb{Q}$.