Sugerencias para la investigación en teoría de grupos

Question

(Esta es una ayuda para no perder el interés de la Teoría de grupos. Queridos Grupo Teórico o Algebrista por favor, ayudar; si la pregunta no es clara, dar sugerencias.)

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(1) Unos días antes, me encontré con una reseña de un libro en $p$-grupos por un experto en el p-grupos (C. R. Leedham-Verde), parte de la cual es la siguiente:

....Los autores sugieren que no hay menos de 1400 investigación problema......Tomar al azar Problema 1200: Estudio de los p-grupos cuya cíclico los subgrupos son característicos en su centralisers. No hay ninguna objeción a preguntar un lugar impreciso de la pregunta ("de Estudio. . . "), salvo que se podría llegar a un número de papeles, pero no es una objeción para el estudio de algunos por extraño que define la clase de grupos sin saber por qué. ......

Hoy en día, yo estaba mirando para muchos artículos sobre el Tema de la Investigación $$\mbox{study of Frobenius groups $N\rtimes H$ acting on other group $G$ via automorphisms},$$ Concerniente a la revisión anterior comentario, la primera pregunta que me vino a la mente fue ¿por qué el estudio de estos grupos? No he encontrado una buena razón para su estudio en los papeles. Introducción en muchos papeles dice (casi la misma declaración):

muchas de las propiedades de $G$ están relacionadas con la de puntos fijos de $H$$G$.

Yo no encuentro la razón interesante. Hay otra motivación para el estudio de tales Frobenius acciones?

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(2) Después de la preparación mental de que "vamos a ver estos documentos, sin razón filosófica", me fui para la lectura de los documentos. Pero, me enfrentaba a la gran cantidad de problemas en los Símbolos. Que no se dijo en papel, lo que el símbolo $G^{\mathfrak{A}(p-1)}$ indica. Pero en la búsqueda en línea, me encontré con dos significados diferentes de este:

• abelian radical (Subgrupo Celosías de Grupos, Volumen 14 Por Roland Schmidt)

• abelian residual (Productos de Grupos Finitos por Ballester-Bolinches, ...)

Y este sacó mi mente desde el Tema de la Investigación!

Lo razonable es una buena forma de investigación en Teoría de grupos?

Answer 1

• La investigación significa encontrar sus propios problemas y encontrar soluciones para ellos.
• La investigación no significa que usted tendrá que encontrar un problema muy difícil y, a continuación, empezar a resolverlo.Surge al leer un tema en particular y, a continuación, encontrar algo sorprendente.
• Siempre es mejor encontrar problemas en su propia y puede preguntar sobre el MSE o en algún otro lugar acerca de la originalidad del resultado.
• Definitivamente va a perder el interés sobre el tema de si su atención se centra sólo en el hacer de la investigación en el tema.Usted debe concentrarse más en disfrutar del tema y motivar a ti mismo para aprender más paso a paso .
• La investigación puede comenzar en cualquier nivel de primaria.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Deje $G$ ser un grupo finito , por Jordania Hölder sabemos que

$1=G_0\leq G_1 \leq G_2...\leq G_n=G$

Tal que $G_i$ es máxima normal en $G_{i+1}$. Eso significa que $G_{i+1}/G_i$ es un grupo simple.

Así, tenemos dos principal problema para la comprensión del grupo $G$ ?

$1)$ Lo son todos finitos simples grupos ?

$2)$ Si conocemos $G/M$$M$, conocemos $G$ ? (problemas de extensión)

(Estos pueden ser vistos como problemas principales de la teoría de grupos finitos)

El primero problema es terminado en $2004$. (todos los documentos relacionados con este problemas es acerca de $10000$ páginas).

El segundo no ha terminado todavía.(parece estar lejos de terminar)

El Segundo problema es muy muy difícil, incluso,$G=M\ltimes H$. En ese caso: $H$ actúa en $M$ por automorphism.

Hay muchos conocidos resultado si $(|M|,|H|)=1$ llamado como coprime acción. Más específicamente, el Frobenius de acción. (también es uno de los coprime acción.)

Todos estos problemas son parte de los casos de la segunda pregunta.

Besdie estas, Algunas personas de estudio en grupos específicos como extra grupos especiales. Al principio, puede ser visto como muy específicos e inútil, pero cuando te das cuenta de que tratando de solucionar muchos de los problemas a través de la inducción de la fuerza de muchos grupos reduct para algunos casos especiales, se puede ver que son importantes de verdad. Entre ellos, extraspecial grupos, frobenius grupos, supersolvable grupos ... por Lo tanto, estos no son muy "caso especial", son "caso general".

Como un ejemplo, suponga que usted desea solucionar $$x^2-bx+c =0$$

Algunas personas dicen que he resuelto este al $b=0$. En la primera se puede ver que es muy específico caso, pero

$$(x-\dfrac{b}{2})^2+c-\dfrac{b^2}{4}=0$$ set $t=(x-\dfrac{b}{2})^2$

$$t^2-C =0$$

En realidad, has solucionado el problema !

Espero que lo que quiero decir es clara.