Axiomas de Euclides

Question

Los axiomas de Euclides son :

1. Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.
2. Si los iguales se suman a los iguales, los enteros son iguales.
3. Si igual se resta de igual, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Sé que los axiomas están pensados para ser memorizados y no están sujetos a cuestionamientos o pruebas. Se dice que no se pueden demostrar los axiomas porque son el punto de partida de las matemáticas. Sin embargo, ¿puede alguien demostrar que los axiomas (por ejemplo, los mencionados anteriormente) no pueden demostrarse?

Answer 1

Hay que empezar por algún sitio. Si quieres demostrar tus axiomas, tendrás que hacerlo a partir de afirmaciones más sencillas. Si no estás dispuesto a dar por sentadas esas otras afirmaciones, tendrías que demostrarlas de nuevo en términos de otras afirmaciones, y así sucesivamente.

Nunca te detendrías. . . de hecho es peor que eso, ¡ni siquiera empezarías!

No soy un experto en historia de las matemáticas, por lo que puedo ser corregido, pero esto es lo que yo entiendo de (una pequeña parte de) la historia. Aproximadamente en el siglo XVIII, los axiomas de Euclides se aceptaban como "hechos evidentes" sobre el mundo real. Que yo sepa, nadie puso en duda su "verdad", aunque varias personas cuestionaron su independencia, preguntándose si el postulado de las paralelas podía demostrarse a partir de otros postulados y axiomas. Con el tiempo se demostró que no era posible: sin entrar en detalles, se demostró que se puede encontrar un sistema de geometría autoconsistente en el que el postulado del paralelo es, de hecho, falso.

Esto tuvo una consecuencia que, en mi opinión, fue muy sorprendente para mucha gente, o quizá debería decir simplemente que llevó a una pregunta: si esta geometría "no euclidiana" es autoconsistente, ¿cómo sabemos que en realidad no describe el mundo mejor que la geometría euclidiana? Más tarde, Einstein describió de hecho el universo en términos de una geometría muy diferente. Una anécdota: a principios del siglo XIX, parece que Gauss hizo un poco de topografía, midiendo ángulos entre varios picos de montaña. Puede que sólo fuera un trabajo, pero algunos han sugerido que estaba interesado en determinar si, en el mundo real, los ángulos de un triángulo realmente suman $180^\circ$ . He ahí un buen ejemplo de cómo cuestionar los "hechos" aceptados.

El siguiente punto de vista que surgió -y en matemáticas (puras), aunque no digamos en física, ha perdurado mucho hasta nuestros días- fue que si los axiomas que no describen el mundo real son autoconsistentes, ni siquiera hay necesidad de preguntarse si los axiomas describen o no el mundo real. Son sólo "las reglas del juego", y se pueden cambiar si se prefiere "jugar a otro juego". De este modo, los axiomas no tienen por qué ser "verdaderos": el único requisito es que sean autoconsistentes, es decir, que no conduzcan a teoremas contradictorios.

Todo esto, por supuesto, desde un punto de vista muy "puramente matemático": si quieres hacer matemáticas que tengan aplicación en el mundo real, entonces tienes que ajustar tus axiomas al mundo real.

Un último comentario: es cierto que los axiomas de la geometría euclídea no pueden demostrarse en el sentido de deducirlos de otros enunciados de la geometría euclídea. Sin embargo, sí que pueden demostrarse a partir de hechos sobre los números reales. Si se modela el plano euclídeo definiendo un punto como un par de números reales, y si se define una recta como un conjunto de la forma $$L_{a,b,c}=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\,|\,ax+by=c\}$$ avec $a,b$ no son ambos cero, entonces se puede demostrar el postulado de Euclides de que hay exactamente una recta que pasa por dos puntos desiguales dados. Pero entonces necesitarías axiomas para los números reales. Podrías simplemente aceptarlos, o definir los reales en términos de los racionales. . y así sucesivamente.

Espero que sea de su interés.

Answer 2

Todo sistema o planteamiento debe tener un punto de partida. Demostrar que estos axiomas pueden/no pueden demostrarse requeriría asumir algún otro conjunto de axiomas a partir del cual pudiéramos enmarcarlos.

Por dónde se empieza o qué axiomas se asumen depende de lo que se intente demostrar/discutir.

En respuesta a tu comentario, eso depende de los axiomas con los que empieces. Sin embargo, uno de los resultados de Godel afirma (para la teoría aritmética), que en cualquier sistema consistente (es decir, que no contenga contradicciones), existirá un enunciado que sea verdadero pero no demostrable dentro de ese sistema.

El enfoque general de las matemáticas (tal y como yo lo entiendo en este momento), es que empiezas con algunos axiomas y ves a dónde te llevan.

Por ejemplo, uno de los postulados geométricos de Euclides era su postulado paralelo, básicamente http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate

Si bien esto es cierto en la geometría euclidiana estándar, si no los asumimos, entonces acabamos con otras formas de Geometría como la hiperbólica o la esférica.

Answer 3

Sé que los axiomas... no están sujetos a cuestionamiento o prueba.

Depende de lo que quieras hacer con ellos. Los axiomas de Euclides no pretenden modelizar una geometría cualquiera, sino la geometría del mundo real. Ergo, están sujetos a cuestionamiento, como cualquier otro modelo. De hecho, la Relatividad General sugiere que los axiomas de Euclides dan lugar a un modelo pobre de la geometría del mundo real cerca de agujeros negros y otros objetos muy masivos.

Pero incluso en matemáticas puras, los axiomas se cuestionan todo el tiempo. Las preguntas suelen ser del tipo "¿Los ejemplos concretos que me interesan satisfacen estos axiomas?" y "¿Puede demostrarse tal o cual teorema utilizando menos axiomas o axiomas más débiles?".

Nunca, nunca dejes de cuestionar.

Se dice que no se pueden demostrar los axiomas ya que son el punto de partida de las matemáticas.

No. Cada axioma de un sistema formal es un teorema de ese sistema. De hecho, un axioma puede ser definido como un teorema con una demostración de una línea (o de cero líneas, según cómo se formalicen las cosas).

Pero quizá usted busque un concepto ligeramente distinto. Se dice que los axiomas de un sistema formal son independiente si ningún subconjunto de esos axiomas puede demostrar el resto de los axiomas. A menudo se puede demostrar la independencia de los axiomas de un sistema formal, pero sólo utilizando un segundo sistema más sólido.

Answer 4

En sentido estricto, los enumerados no son Elementos de Euclides postulados, sino los llamados nociones comunes .

La diferencia es la siguiente :

• los cinco postulados pretenden ser específico sobre geometría

• las nociones comunes pretenden ser más ampliamente "aplicables".

Acerca de :

asumiendo otros axiomas ¿puedes demostrar que los axiomas de Euclides no se pueden demostrar?

el descubrimiento de geometrías no euclidianas ha demostrado que la quintos postulados (o paralelos) era de hecho independiente de las otras cuatro; por lo tanto, no es demostrable en el contexto de la teoría de Euclides Elementos .

Por ejemplo noción común 5 :

El todo es mayor que la parte

se puede demostrar que es flase en el contexto de set-tehory con respecto a infinito set.

Es un resultado estándar relativo a la cardinalidad de conjuntos contables que :

los conjuntos $A = \{ 1, 2, 3, \ldots \}$ el conjunto de los números enteros positivos, y $B = \{ 2, 4, 6, \ldots \}$ el conjunto de los números enteros positivos pares, tienen el mismo tamaño [en el sentido precisado por la teoría de conjuntos]. Ambos son contablemente infinitos.

Claramente, $B$ es un parte adecuada de $A$ .

Answer 5

En lenguaje matemático moderno: (1) no es más que la propiedad transitiva de la igualdad. (2) y (3) son aplicaciones específicas de la regla de sustitución de la igualdad. Esto es válido para cualquier función binaria, no sólo para $+$ y $-$ . En (4), la palabra "coinciden" es ambigua, pero probablemente corresponde a la regla reflexiva de igualdad. Falta, por supuesto, la propiedad simétrica de la igualdad.

Estas ideas han resistido más o menos la prueba del tiempo como verdades evidentes.

(5), sin embargo, puede ser problemático. Parece derivarse del hecho de que los antiguos griegos anteriores a Ptolomeo (el filósofo) no tenían noción del cero. No habrían tenido nada análogo a nuestro $x+y=x$ con $x$ y $y$ siendo el piezas y $x+y$ siendo el todo .

Traducir (1) a (4) al lenguaje formal de las matemáticas modernas:

(1) Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.

$$\forall x,y,z:[x=y \land y=z\implies x=z]$$

(2) Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales.

$$\forall w,x,y,z:[w=x \land y=z \implies w+y = x+y]$$

(3) Si igual se resta de igual, los restos son iguales.

$$\forall w,x,y,z:[w=x \land y=z \implies w-y = x-y]$$

(4) Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

$$\forall x: x=x$$