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Question

Encontrar $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln(1+4^x)}{\ln(1+3^x)}$

Usando serie de Taylor: $$\ln(1+4^x)=\frac{2\cdot 4^x-4^{2x}}{2}+O(4^{2x}),\ln(1+3^x)=\frac{2\cdot 3^x-3^{2x}}{2}+O(3^{2x})\Rightarrow$ $

$$\lim\limits{x\to \infty}\frac{\ln(1+4^x)}{\ln(1+3^x)}=\lim\limits{x\to \infty}\frac{2\cdot 4^x-4^{2x}}{2\cdot 3^x-3^{2x}}=\infty$$

El límite debe ser $0$. ¿Alguien podría señalar lo que está mal?

Answer 1

Uso de equivalentes:

• $\ln(1+4^x)\sim_\infty\ln 4^x=x\ln 4$,
• del mismo modo $\ln(1+3^x)\sim_\infty\ln 3^x=x\ln 3$,

por lo tanto, $$\frac{\ln(1+4^x)}{\ln(1+3^x)}\sim_\infty\frac{x\ln 4}{x\ln 3}=\frac{\ln 4}{\ln 3}.$ $

Answer 2

$$\lim{x\to\infty}\space\frac{\ln(1+4^x)}{\ln(1+3^x)}=$$ $$\lim{x\to\infty}\space\frac{\ln(1+4^x)}{\ln(3^x)+\ln(1+3^{-x})}=$$ $$\lim{x\to\infty}\space\frac{\ln(1+4^x)}{\ln(3^x)}=$$ $$\lim{x\to\infty}\space\frac{\ln(4^x)\ln(1+4^{-x})}{\ln(3^x)}=$$ $$\lim{x\to\infty}\space\frac{\ln(4^x)}{\ln(3^x)}=$$ $$\lim{x\to\infty}\space\frac{x\ln(4)}{x\ln(3)}=$$ $$\lim_{x\to\infty}\space\frac{\ln(4)}{\ln(3)}=\frac{\ln(4)}{\ln(3)}$$

Answer 3

Puesto que es de regla la forma $\frac{\infty}{\infty}$ L'Hopital da\begin{align}\lim{x\to \infty}\frac{(\ln{(1+4^x)})'}{(\ln{(1+3^x)})'}&=\frac{\ln 4}{\ln 3}\cdot\lim{x\to \infty}\frac{4^x(1+3^x)}{3^x(1+4^x)}=\&=\frac{\ln4}{\ln3}\cdot\lim{x\to \infty}\frac{12^x\left(\frac1{3^x}+1\right)}{12^x\left(\frac{1}{4^x}+1\right)}=\frac{\ln4}{\ln3}\cdot\lim{x\to \infty}\frac{\frac1{3^x}+1}{\frac{1}{4^x}+1}=\frac{\ln4}{\ln3}\cdot \frac11=\frac{\ln4}{\ln3}\end {Alinee el}

Answer 4

Tenga en cuenta que la serie $\log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\,x^n$ es válido solamente para $-1<x escribir="" podemos="">1$,</x>

$$\begin{align} \log(1+x)&=\log x+\log \left(1+\frac1x\right) \\ &=\log x +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\,x^{-n} \tag 1 \end {Alinee el} $$

Usando el $(1)$, podemos escribir para $a>1$

$$\begin{align} \log(1+a^x)&=\log(a^x)+\log(1+a^{-x})\\ &=x\log a+O(a^{-x}) \tag 2 \end {Alinee el} $$

De $(2)$ podemos escribir

$$\begin{align} \frac{\log(1+4^x)}{\log(1+3^x)}&=\frac{x\log 4+O(4^{-x})}{x\log 3+O(3^{-x})}\\ &=\frac{\log 3+O\left(\frac{4^{-x}}{x}\right)}{\log 4+O\left(\frac{3^{-x}}{x}\right)} \end {Alinee el} $$

El límite de $x\to \infty$ es evidente ahora como el numerador tiende a $\log 4$ y el denominador tiende a $\log 3$. Por lo tanto, obtenemos

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\log(1+4^x)}{\log(1+3^x)}=\frac{\log 4}{\log 3}$$