Pregunta en la prueba sobre campos finitos en wikipedia

Question

En el primer párrafo de la wikipedia:Finito campos de escribir

La identidad $$ (x + y)^p = x^p + y^p $$ es cierto (para cada $x$$y$) en un campo de característica $p$.

Para cada elemento $x$ en el primer campo de $GF(p)$, uno ha $x^p = x$ (Esto es una consecuencia inmediata de Fermat poco teorema, y esto puede ser demostrado fácilmente de la siguiente manera: la igualdad es trivialmente cierto para $x = 0$$x = 1$; se obtiene el resultado para el resto de los elementos de $GF(p)$ mediante la aplicación de la anterior identidad a $x$ $1$ donde $x$ , sucesivamente, se toma los valores de $1,2,\ldots, p-1$ modulo $p$. Esto implica la igualdad $$ X^p - X = \prod_{un\en GF(p)} (X - a) $$ para los polinomios de más de $GF(p)$.

No entiendo lo que están haciendo en el último citado párrafo, que quiere aplicar $(x + 1)^p = x^p + 1$ $x = 1,2,\ldots, p-1$ modulo $p$, pero, ¿cómo hace esto da el resultado $x^p = x$ o que $X^p - X = \prod_{a\in GF(p)} (X - a)$; no veo lo que está ocurriendo aquí?

Answer 1

Para la igualdad de $x^p = x$, asumen que la declaración es demostrado por algunos $a\in GL(p)$, y luego probarlo para $a+1$ escrito $(a+1)^p = a^p + 1^p = a+1$. Así que es una forma de inducción.

Para la segunda parte, vamos a escribir para el momento en $f(X) = X^p -X$$g(X) = \prod_{a\in GL(p)} (X-a)$. Queremos demostrar que $f=g$. Al menos sabemos que $f$ $g$ tienen el mismo grado y la misma coeficiente inicial. A partir de la definición de $g$ sabemos que cada elemento de a $GL(p)$ es una raíz de $g$, con una multiplicidad, y estas son todas las raíces de $g$. Por otro lado, debido a que de el primer párrafo, cada elemento de la $GL(p)$ también es una raíz de $f$, y desde $f$ tiene el grado $p$, todas estas raíces debe tener multiplicidad 1 así. Por lo tanto, $f$ $g$ tienen las mismas raíces (incluyendo la multiplicidad) y el mismo coeficiente inicial, por lo $f=g$.

Answer 2

Para la primera parte, aplicamos inducción en $x$ a $(x+1)^p = x^p + 1^p = x+1$ como se desee. La segunda ecuación es una equivalencia de dos polinomios $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ Es un dominio, un polinomio es cero en el foro de $a$ es divisible por $(x-a)$. El polinomio $x^p-x$ es cero en cada $x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (desde $x^p = x$) por lo tanto es divisible por $\Pi (x-a_i)$. Considerando grados, debe ser igual a $\Pi (x-a_i)$.