Calcule la probabilidad de ganar un juego con monedas, sin usar series

Question

He encontrado la siguiente pregunta en un libro con una respuesta.

Pregunta: Usted tiene dos tipos de monedas. El número de monedas de $A$$n$. El número de monedas de $B$$n+1$. Cuando se saque todas las monedas al mismo tiempo, calcular la probabilidad de tal forma que el número de la-facial-lado-$B$s es mayor que el número de la -facial-lado-$A$s.

Respuesta: $1/2$.

Sin embargo, este libro nos dijo nada acerca de información adicional, excepto en una frase: "Hay una manera de resolver esta cuestión sin el uso de $\sum$".

He tratado de encontrar, pero me estoy enfrentando dificultades. Entonces, aquí está mi pregunta.

Pregunta: ¿podrías mostrarme un camino para resolver la pregunta anterior sin el uso de $\sum$ ?

Answer 1

Busca la simetría en el problema. Si ninguno es evidente, hacer algunos!

Decir que usted gana si hay más estrictamente B jefes de jefes. Tirar todas las monedas excepto una moneda B. Llame a $p$ la probabilidad de que ustedes están viendo ahora el mismo número de cabezas y B jefes. Recordar que vas a observar como muchas monedas, como las monedas de B. por Lo tanto, por simetría, las probabilidades de que usted está viendo estrictamente más cabezas de B jefes o más estrictamente B cabezas de las cabezas son iguales. Esto muestra que ambos son $\frac12(1-p)$. Además:

• Si usted está viendo estrictamente más cabezas de B jefes, la última B de la moneda no va a ganar por lo que se gana con (condicional) probabilidad de $\color{red}{\mathbf 0}$.

• Si usted está viendo el mismo número de cabezas y B jefes, la última B de la moneda va a ganar si y sólo si muestra los jefes, lo que ocurre con probabilidad de $\color{green}{\mathbf{\frac12}}$.

• Si usted está viendo más estrictamente B jefes de jefes, el último B de la moneda no le hará perder por lo tanto, usted gana con (condicional) probabilidad de $\color{blue}{\mathbf 1}$.

Por lo tanto el (absoluta) de la probabilidad de ganar es $$ \tfrac12(1-p)\cdot\color{red}{\mathbf 0}+p\cdot\color{verde}{\mathbf{\tfrac12}}+\tfrac12(1-p)\cdot\color{blue}{\mathbf 1}=\text{____}. $$