Secuencias anidadas de bolas en un espacio de Banach

Question

Esta parece ser una pregunta facil pero estoy buscando nuevos puntos de vista sobre ella y preguntaba si alguien podría ser capaz de ayudar

(por cierto, esta pregunta viene de casa al trabajo, pero ya lo he resuelto y se la entregó, y yo estoy publicando esta fuera de interés, por lo que no HW etiqueta)

Deje $B_n=B(x_n,r_n)$ ser una secuencia de anidado cerrado bolas en un espacio de Banach $X$ demostrar que los $\bigcap_1^\infty B_n\neq\emptyset$

Como he dicho antes, debe ser bastante simple. Cuando los radios de disminuir a 0, es sólo cuestión de seleccionar cualquier secuencia de puntos en $B_n$, y debe ser de Cauchy - y el límite está en la intersección.

Mi pregunta es ¿qué hacer cuando las radios no disminuye a 0? Tengo algunos consejos acerca de la multiplicación de las bolas por una secuencia decreciente de escalares, o la reducción de las radios, de modo que se reducen a 0, pero no encontró demasiados los casos patológicos para ambos métodos.

Finalmente - he utilizado un geométricas arguemnt (que he comprobado que funcionan en cualquier normativa espacio) que si $B(x_1,r_1)\subset B(x_2,r_2)$$\| x_1-x_2\|\leq|r_1-r_2|$. Esto resultó ser algún tipo de técnica catástrofe, pero funcionó...

Aún así, si alguien sabe de una solución más elegante, me encantaría oír acerca de él

Gracias

Answer 1

No sé si esto es más elegante, pero este es el mejor que se me ocurre en el momento y, probablemente, de esencialmente el mismo que el de su argumento.

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Consideremos, en primer lugar la situación de la $B_{\leq r}(x) \subset B_{\leq s}(y)$. Es fácil ver que $r \leq s$.

La reclamación. $\|y - x\| \leq s - r$.

Prueba. Si $x = y$ no hay nada que probar, así que supongamos $x \neq y$. El punto de $z = x - r \frac{y-x}{\|y - x\|}$ pertenece a $B_{\leq r}(x)$ y, por tanto, también a $B_{\leq s}(y)$. Por lo tanto,$\|y - z\| \leq s$. Por otro lado, \[ y - z = y - x + \frac{r}{\|y - x\|} (y - x) = \underbrace{\left(1 + \frac{r}{\|y - x\|}\right)}_{\lambda} (y - x), \] por lo $s \geq \lambda \|y - x\| = \|y - x\| + r$ y, por tanto,$\|y - x\| \leq s - r$.

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Esto significa que una secuencia anidada de cerrado bolas $B_{\leq r_{n}}(x_{n})$ tiene las siguientes propiedades:

1. La secuencia de $r_{n}$ es monótonamente decreciente, por lo tanto converge a algunos $r$.
2. Si $N$ es tal que $r_{N} \leq r + \varepsilon$, la anterior aseveración implica que para todos los $n\geq m \geq N$ tenemos $r_m - r_n \leq \varepsilon$, lo $\|x_{m} - x_{n}\| \leq \varepsilon$ porque $B_{\leq r_{n}}(x_{n}) \subset B_{\leq r_{m}}(x_{m})$.

En otras palabras, los centros de $x_{n}$ forma de una secuencia de Cauchy y su punto límite $x$ debe pertenecer a $\bigcap_{n = 1}^{\infty} B_{\leq r_{n}}(x_{n})$.

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Agregado: Como Jonas señaló, el argumento puede ser aún más simple y no necesita de la integridad: Supongamos $r_{n} \to r \gt 0$. Entonces no es $N$ tal que $r_{N} \leq 2r$. A continuación, para todos los $n \geq N$ tenemos $r \leq r_{n} \leq r_{N} \leq 2r$, lo $r_{N} - r_{n} \leq r$ y la demanda implica que $\|x_{n} - x_{N}\| \leq r \leq r_{n}$, lo $x_{N} \in \bigcap_{n = 1}^{\infty} B_{\leq r_{n}} (x_{n})$.