La función de $F(y)=\int_0^\infty e^{-x^2}\cos(2xy)dx$ (Lebesgue) satisface $F'(y)+2yF(y)=0.$

Question

Quiero demostrar que la función se define como la Integral de Lebesgue $$F(y)=\int_0^\infty e^{-x^2}\cos(2xy)dx$$ satisface $F'(y)+2yF(y)=0$, y después de eso, que $F(y)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}e^{-y^2}$. He intentado esto:

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En primer lugar, tenemos que $F'(y)=\int_0^\infty -2xe^{-x^2}\sin (2xy)$, y que

$$F'(y)+2yF(y)=\int_0^\infty e^{-x^2}(2y \cos(2xy)-2x\sin(2xy)).$$

Así que quiero demostrar que esta última integral es 0. Supongo que debo usar en algún paso que $$\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Answer 1

Te voy a patear a ti mismo: el integrando de a $F'(y)+2yF(y)$ es la derivada con respecto al $x$ de $$ e^{-x^2}\sin{2xy}, $$ que se desvanece en los extremos. Por lo tanto la integral es cero.

Answer 2

SUGERENCIA:

Integrar por partes la integral de la $\int_0^\infty e^{-x^2}2y\cos(2xy)\,dx$$u=e^{-x^2}$$v=\sin(2xy)$.