$p^n\mid ((p^{n-m}+1)^j-1)$?

Question

Deje $m$ $n$ ser números naturales, donde $n>m\geq 1$ $p$ ser un extraño prime. Podemos determinar todos los números naturales $j$ tal que $p^n\mid ((p^{n-m}+1)^j-1)$?

Answer 1

Espero que esto sea suficiente.

El uso de la tecnología LTE Lema permite definir $\alpha:=v_p((p^{n-m}+1)^j-1)\Leftrightarrow p^\alpha\|(p^{n-m}+1)^j-1$. Por lo $p^\alpha$ divide exactamente $(p^{n-m}+1)^j-1$. Usando ahora el Lema llegamos $\alpha=v_p((p^{n-m}+1)-1)+v_p(j)=v_p(p^{n-m})+v_p(j)=n-m+v_p(j)$. Es suficiente que el $\alpha\ge n$, bcs, a continuación, sabemos que $p^n$ brecha $(p^{n-m}+1)^j-1$. Por lo $v_p(j)\ge m$, lo que significa que $j$ es independiente de $n$. Ahora sólo tenemos que $j=p^m\cdot t, t\in\mathbb{N}$ (esto se deduce del hecho de que $j=p^b\cdot k, k,b\in\mathbb{N}$ $k\ge m$ y $p\nmid k$ $\Rightarrow$$b=m+h,t=p^h\cdot k$).

Answer 2

Utilizar el teorema del binomio en $(p^{n-m}+1)^j$. Verás que a la 1 de la voluntad de cancelar y, a continuación, usted puede mirar en el exponente para determinar que $j$'s de satisfacer la división.