¿Es la afirmación sobre la forma $\alpha x+\beta xy+\gamma y$ ¿Es cierto?

Question

En mi respuesta me llevó a conjeturar lo siguiente:

Declaración:
Si $\gcd(\alpha,\beta,\gamma)=1,$ entonces todo entero puede escribirse como $\alpha x+\beta xy+\gamma y$ para los enteros $x$ y $y$ .

Si lo anterior es cierto, mi pregunta original estaría resuelta, pero la validez de la pregunta original no implica la verdad de la afirmación anterior.
Y lo que puedo pensar ahora es que esto es sólo la identidad de Bézout, en el caso $\beta=0$ .
Gracias por cualquier ayuda, y, por favor, localice cada punto inapropiado que tenga lugar aquí.

Answer 1

Esto es falso. $\gcd(6,15,10)=1$ pero no existe una solución entera para $$6x+15xy+10y=1$$

Esto se puede comprobar fácilmente encontrando la condición para $6x+15xy+10y>0$ y encontrar los mínimos locales en esas zonas.

Gracias a chubakueno :

$$6x+15xy+10y+4=5$$

$$(3x+2)(5y+2)=5$$

Así que $(5y+2)$ debe dividir $5$ No es posible.

Answer 2

$\alpha x + \beta x y + \gamma y = z$ significa $(\alpha + \beta y) x = z - \gamma y$ por lo que $z - \gamma y = 0$ (en cuyo caso podría tomar $x=0$ ) o $\alpha + \beta y \ne 0$ y $z - \gamma y$ es divisible por $\alpha + \beta y$ . Pero entonces $\beta (z - \gamma y) + \gamma (\alpha + \beta y) = \beta z + \alpha \gamma$ también debe ser divisible por $\alpha + \beta y$ . Supongamos que, por ejemplo $\beta z + \alpha \gamma$ es un primo $P$ . Entonces $\alpha + \beta y$ sólo puede ser $\pm 1$ o $\pm P$ .
Ahora $P \equiv \alpha \gamma \mod \beta$ , mientras que $\alpha + \beta y \equiv \alpha \mod \beta$ . Así que si $\alpha$ no es congruente con $\pm 1$ o $\pm \alpha \gamma$ mod $\beta$ no tienes suerte.

Por ejemplo, tome $\beta = 7$ , $\gamma = 2$ , $\alpha = 3$ , $z=1$ (así $P = 13$ ).