Los ceros de una solución entre ceros sucesivos de otra solución

Question

Deje $q$ ser un verdadero valorado no trivial de la solución de $$ y" +A(x)y = 0 \text{ en } a<x<b, $$ y deje $w$ ser un verdadero valorado no trivial de la solución de $$ y" + B(x)y = 0 \text{ en } a<x<b. $$ Aquí $A$ $B$ son reales valores de funciones continuas satisfacciones $$ B(x)>A(x) \text{ para } a<x<b. $$ Cómo mostrar que si $x_1$ $x_2$ son ceros sucesivos de $q$$(a,b)$, $w$ debe desaparecer en algún punto de $p \in (x_1, x_2)$?

Respuesta parcial: Vamos a $q, w>0$$(x_1, x_2)$,$(wq'-qw')'= (B-A)qw$, y por la integración de $x_1$ $x_2$obtenemos $w(x_2)q'(x_2)-w(x_1)q'(x_1)> 0$. De alguna manera quiero mostrar que ese $q'(x_1)< 0$ o $q'(x_2)>0$, que luego se contradicen $q > 0$ $(x_1, x_2)$

Answer 1

Usted ha hecho todo el trabajo duro. Desde $q>0$$(x_1,x_2)$$q(x_1)=q(x_2)=0$, unicidad implica que $q'(x_1)>0$$q'(x_2)<0$. Por último, desde el $w>0$ en $(x_1,x_2)$, $w(x_i)\ge0$, $i=1,2$. Entonces $$ w(x_2)q'(x_2)-w(x_1)q'(x_1)\le0, $$ lo que le da una contradicción.