Prueba

Question

Ramanujan se dieron las siguientes identidades para el Dilogarithm función:

$$ \begin{align*} \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right) &=\frac{{\pi}^2}{18}-\frac{\log^23}{6} \\ \operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right) &=-\frac{{\pi}^2}{18}+\frac{1}{6}\log^23 \end{align*} $$ Ahora, me preguntaba si hay identidades similares para la trilogarithm? He encontrado numéricamente que

$$\text{Li}_3\left(-\frac{1}{3}\right)-2 \text{Li}_3\left(\frac{1}{3}\right)\stackrel?= -\frac{\log^3 3}{6}+\frac{\pi^2}{6}\log 3-\frac{13\zeta(3)}{6} \tag{1}$$

• Yo no era capaz de encontrar la ecuación de $(1)$ cualquier lugar en la literatura. Es un nuevo resultado?
• ¿Cómo podemos demostrar $(1)$? Creo que debe ser cierto ya que compromete a una gran cantidad de lugares decimales.

Answer 1

Combinación de identidades de trilogarithm 1 y 2, se obtiene la fórmula\begin{align} \operatorname{Li}_3\left(\frac{1-z}{1+z}\right)-\operatorname{Li}_3\left(-\frac{1-z}{1+z}\right)= 2\operatorname{Li}_3\left(1-z\right)+2\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{1+z}\right)- \frac12\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{1-z^2}\right)-\frac74\operatorname{Li}_3\left(1\right)\\ -\frac13\ln^3(z+1)+\frac{\pi^2}{6}\ln(z+1)+\frac{1}{12}\ln^3\left(z^2-1\right)+\frac{\pi^2}{12}\ln(z^2-1). \end {Alinee el}

Ahora basta con utilizar que $z=2$, $\operatorname{Li}_3\left(1\right)=\zeta(3)$ $\operatorname{Li}_3\left(-1\right)=-\frac34\zeta(3)$ y.

Answer 2

Por "en cualquier lugar de la literatura" no incluyen L. Lewin, Polylogarithms y Assoicated Funciones ?

En el (fortcoming) solución Mensual problema 11654, verás que muy ecuación. Para la prueba, nuestra solver (Richard Stong) utiliza estas identidades: $$ \mathrm{Li}_3\left(\frac{1-z}{1+z}\right) - \mathrm{Li}_3\left(\frac{z-1}{z+1}\right) = 2\;\mathrm{Li}_3(1-z) + 2\;\mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{z+1}\right) - \frac{1}{2}\;\mathrm{Li}_3(1-z^2) - \frac{7}{4}\zeta(3)- \frac{1}{3}\big(\log(1+z)\big)^3 + \frac{\pi^2}{6}\log(1+z) $$ en $z=2$ y $$ \mathrm{Li}_3(z) = \mathrm{Li}_3\left(\frac{1}{z}\right) - \frac{1}{6}\big(\log(-z)\big)^3 - \frac{\pi^2}{6}\log(-z) $$ en $z=-3$. Stong cites la Lewin libro.