Encontrar el $n^{\text{th}}$ plazo de $-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,...$ como una repetición de 8-bloque

Question

En mi trabajo me encontré con que la secuencia de la

$-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,\dots$ y la repetición de este 8-bloque por siempre

Ahora no puedo encontrar una ( por ejemplo, trigonométricas/complejo ) la expresión $f(n)$ ( por ejemplo, $f(n) =(-1)^g(n)$ ) lo que me da la secuencia, comenzando con $n=2,3,4,5,6,7,8,9,…$ y así para siempre.

Answer 1

Considere la función $f(n)$ tal que \begin{equation} f(n) = \left \{ \begin{array}[ll] (-1 & \textrm{ if } n \textrm{ mod } 8 \equiv 0,1,2,3 \\ 1 & \textrm{ if } n \textrm{ mod } 8 \equiv 4,5,6,7 \end{array} \right. \end{equation}

Answer 2

Voy a suponer que usted realmente están empezando a $2$. Si el inicio es diferente, la modificación es fácil.

Deje $g(n)=\left\lfloor\frac{n+2}{4}\right\rfloor$. Aquí $\lfloor x\rfloor$ es el "piso" de la función, el mayor entero $\le x$.

A continuación, la secuencia está dada por $(-1)^{g(n)}$.

Answer 3

Por simetría, podemos asumir $$ f(n) = a_1 \sin\frac{\pi n}{4} +a_3 \sin\frac{3\pi n}{4} +b_1 \cos\frac{\pi n}{4} +b_3 \cos\frac{3\pi n}{4}. $$ Entonces $$ \begin{aligned} f(1) &= \frac{a_1}{\sqrt{2}} +\frac{a_3}{\sqrt{2}} + \frac{b_1}{\sqrt{2}} -\frac{b_3}{\sqrt{2}} = -1\\ f(2) &= a_1 - a_3 = -1\\ f(3) &= \frac{a_1}{\sqrt{2}} +\frac{a_3}{\sqrt{2}} - \frac{b_1}{\sqrt{2}} +\frac{b_3}{\sqrt{2}} = -1 \\ f(4) &= -b_1 - b_3 = -1. \end{aligned} $$ Así $$ \begin{aligned} a_1 &= -\frac{1}{2} -\frac{1}{\sqrt 2}, \\ a_3 &= +\frac{1}{2} -\frac{1}{\sqrt 2}, \\ b_1 &= b_3 = \frac{1}{2}. \end{aligned} $$ Así $$\begin{aligned} f(n) &= \left( -\frac{1}{2} -\frac{1}{\sqrt 2} \right) \sin\frac{\pi n}{4} + \left( \frac{1}{2} -\frac{1}{\sqrt 2} \right) \sin\frac{3 \pi n}{4} + \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi n}{4} + \cos\frac{3 \pi n}{4} \right) \\ &= \sin\frac{\pi n}{4} \cos\frac{\pi n}{2} -\sqrt 2 \cos\frac{\pi n}{4} \sin\frac{\pi n}{2} + \cos\frac{\pi n}{4} \cos\frac{\pi n}{2} \\ &= \sqrt 2 \left[ \sin\frac{\pi (n+1)}{4} \cos\frac{\pi n}{2} - \cos\frac{\pi n}{4} \sin\frac{\pi n}{2} \right]. \end{aligned} $$

Answer 4

Deje $\zeta = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi/4}$ e $$f(z) = \frac{1}{4} z \left(\left(\sqrt{2}+(1-\mathrm{i})\right) z^6 +\left(-\sqrt{2}+(1+\mathrm{i})\right) z^4 \\ -\left(\sqrt{2}+(-1+\mathrm{i})\right) z^2 +\sqrt{2}+(1+\mathrm{i})\right).$$ A continuación, $f(\zeta^n)$ de la secuencia. (Comienza a las $n=2$.)

Traído a usted por las alegrías de la interpolación de Lagrange (en la octava raíces de $1$).

(No he trabajado a través de los detalles, pero si vamos a convertir esto en una expresión trigonométrica, parece como si deberíamos hacer algo parecido a @user293511 la respuesta.)

Answer 5

Modificado para que se inicie en $n=2$:$$f(n)=(-1)^{\frac{(n+2)!}{(n-2)!4!}}$$ Esto le dará a su secuencia deseada.

Aquí es un gráfico de esta función.