Pregunta sobre la cardinalidad de un espacio

Question

He estado teniendo pensamientos contradictorios sobre el siguiente problema y me preguntaba si alguien me puede ayudar hacia fuera.

¿Es es cierto que la cardinalidad de cada regular espacio separable no exceda $2^{\omega}$?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Esto es falso: $\beta\omega$ es un espacio de Hausdorff compacto separable de cardinalidad $2^{2^\omega}>2^\omega$. (Aquí es una prueba que $|\beta\omega|=2^{2^\omega}$.)

En general lo mejor que podemos decir es que si $\langle X,\tau\rangle$ es un espacio de Hausdorff con un subconjunto denso $D$, entonces el $|X|\le 2^{2^{|D|}}$. En particular, es que es separable, $X$ $|X|\le2^{2^\omega}$. Para ver esto, por cada $x\in X$ $\mathscr{D}(x)={V\cap D:x\in V\in\tau}$. $X$ Es Hausdorff, el mapa $X\to\wp\big(\wp(D)\big):x\mapsto\mathscr{D}(x)$ es inyectivo, así, $|X|\le 2^{2^{|D|}}$.

Answer 2

Esto es falso. No sé cómo se está utilizando la asunción de la regularidad; permítanme hablar acerca de Hausdorff espacios separables $X$ con contables densa subconjuntos $S$. A continuación, un ingenuo argumento podría ejecutar de la siguiente manera: desde $S$ es denso, cada elemento de la $X$ es el límite de una secuencia con valores en $S$, y desde $X$ es Hausdorff, los límites son únicos, si existen. En consecuencia, la cardinalidad de a $X$ es mayor que la cardinalidad del conjunto de secuencias con valores en $S$,$2^{\omega}$.

Este argumento falla en el primer paso: no podemos concluir que cada elemento de a $X$ es el límite de una secuencia con valores en $S$. Esto es cierto si $X$ es también de primera contables y, a continuación, el argumento funciona, pero falso en general.

Regular y separables no implica primera contables. De hecho, cualquier compacto de Hausdorff espacio es regular (de hecho, completamente regular por Urysohn del lema), y un ejemplo de lo que no es de primera contables y también separables, es decir,$\beta \mathbb{N}$, que se dio en los comentarios.