Fuerte convergencia en$L^2(I)$

Question

Deje $I=[0,1]$, y deje $(u_n)$ ser una secuencia en $L^\infty(I)$ convergentes a $u\in L^\infty(I)$ en los débiles$\vphantom{}{^*}$ topología de $L^\infty(I)$. Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$ $C^2$ función de con $f''(t)>0$ real $t$. Suponga que $$\lim_{n\to\infty}\int_I f(u_n(x))\mathrm dx=\int_If(u(x))\mathrm dx.$$ Prove then that $u_n$ converges strongly in $L^2(I)$ to $u$.

EDITAR ya que la pregunta ha sido planteada en los comentarios quiero remarcar que el $f$ el problema no es arbitraria sino que se trata de una específica estrictamente convexa de la función..

EDICIÓN 2. He pensado bastante tiempo acerca de este problema, pero sin embargo, yo no ocurrió nada interesante. Pero de una manera confiable a seguir me parece Expansión de Taylor en el sentido de que uno puede escribir $$f(u(x))=f(u_n(x))+f'(u(x))(u_n(x)-u(x))+\frac 12 f''(u(x))(u_n(x)-u(x))^2+h_2(u(x))(u_n(x)-u(x))^2$$ y, a continuación, tratar de integrar y de paso al límite y ver qué pasa. Es esto útil?

Por favor, hágamelo saber porque me siento perdido frente a este problema.

Answer 1

Desde $u_n$ converge a $u$ débil* en $L^\infty(I)$, sabemos que $\|u_n\|_{L^\infty}$ es uniformemente acotada. De hecho, la débil* la convergencia implica $$ |\langle u_n,\phi\rangle| \leq |\langle u,\phi\rangle| + 1 \leq \|u\|_{L^\infty} + 1, $$ para $\phi\in L^1$ tal que $\|\phi\|_{L^1}=1$, y para $n$ grandes. Esto le da un uniforme obligado en $|\langle u_n,\phi\rangle|$ para cualquier fija $\phi\in L^1$, y una aplicación de la acotamiento uniforme principio, seguido por la dualidad entre el$L^\infty$$L^1$, muestra que $\|u_n\|_{L^\infty}$ es uniformemente acotada.

A continuación, como Siminore observado en los comentarios, $$ f(u_n(x))-f(u(x))-f'(u(x))(u_n(x)−u(x))=\frac12f"(\xi_n(x))(u_n(x)−u(x))^2\geq c|u_n(x)-u(x)|^2, $$ para casi todas las $x\in I$, con algunas constantes $c>0$. La integración de más de $I$, obtenemos $$ \int \left(f(u_n)-f(u)\right) - \int f'(u) (u_n-u) \geq c\|u_n-u\|_{L^2}^2. $$ En el límite de $n\to\infty$, la primera integral en el lado izquierdo va a $0$ por supuesto, y también lo hace la integral plazo por débil* la convergencia. Por lo tanto $u_n\to u$$L^2$.