¿Cómo demostrar equivalencia sistema con un conjunto vacío?

Question

Si quiero demostrar$A = \emptyset$ para algún conjunto A, ¿cómo iría?

Mis primeros pensamientos fueron probarlo como cualquier equivalencia establecida, suponiendo que$x \in \emptyset$ lo que significa que$x \in \emptyset$ o$x \in A$ que implica$x \in \emptyset \cup A = A$. Pero no sabría cómo pasar de$y \in A$ a$y \in \emptyset$, lo cual es obviamente imposible.

También pensé en probar$x \in A$ e intentar demostrar$x \notin A$. ¿Esto implicará que$A = \emptyset$?

Answer 1

De la definición de igualdad de conjuntos necesita mostrar que,

$$A\subseteq \emptyset \land \emptyset\subseteq A$$

Si alguno de ellos es falsa la declaración no puede ser cierta. Demostrar que la primera afirmación es falsa.

Para probar esto simplemente asume que $\exists x\in A$. Entonces esto implicaría que $x\in \emptyset$ pero eso es falso.

Answer 2

Que $x$ ser arbitrarias, asumir $x\in A$ y derivar una contradicción.

Ejemplo: % Let $A$ser establecer y considerar $B=A\cap A^c$. Supongamos que $x\in B$. Por definición, $x\in A$ y $x\notin A$, que es imposible. Por lo tanto tenemos una contradicción y $B=\emptyset$.