Esto no es una respuesta completa, sólo es una prueba de los límites $\min S_n$$\max S_n$.
Deje $\mathbb N = \lbrace 1,2,3,\dots\rbrace$ denotar los números enteros positivos.
Podemos probar, primero, $\min S_n = n-1$ por inducción:
Deje $a_1,a_2 \in \mathbb N$, entonces se comprueba fácilmente, que $a_1a_2 \geq a_1 + a_2 - 1$.
Supongamos ahora, que para$k \geq 2$, y para todos los $a_1, \dots, a_k \in \mathbb N$ sabemos que
$$a_1a_2 + \dots a_{k-1}a_k \geq a_1 + \dots + a_k - 1$$
es cierto, entonces llegamos a la conclusión de
$$a_1a_2 + \dots + a_{k-1}a_k + a_ka_{k+1} \geq$$
$$(a_1 + \dots + a_{k-1} + a_k - 1) + a_ka_{k+1} =$$
$$a_1 + \dots + a_{k-1} + a_k(1 + a_{k+1}) - 1 \geq$$
$$a_1 + \dots + a_k + a_{k+1} - 1.$$
Esta desigualdad se garantiza $\min S_n \geq n-1$. Si elegimos $a_1 = \dots = a_n = 1$,$a_1a_2 + \dots + a_{n-1}a_n = n-1$.
Ahora vamos a mostrar a $\max S_{2n} = n^2$$\max S_{2n+1} = n(n+1)$:
Deje $a_1,a_2 \in \mathbb N$ $a_1 + a_2 = 2n$ (resp. $a_1 + a_2 = 2n+1$), luego es obvio, que el $a_1a_2 \leq n^2$ (resp. $a_1a_2 \leq n(n+1)$) y de los dependientes de que se toma.
Vamos a probar el resto de esta parte sólo para el caso (el extraño caso de ser completamente análogo).
Si tenemos $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb N$ satisfacción $a_1 + a_2 + a_3 = 2n$, luego
$a_1a_2 + a_2a_3 = a_2(a_1 + a_3) \leq n^2$.
Supongamos ahora sabemos, que para algunos $k\geq3$, y para todos los $a_1, \dots ,a_k \in \mathbb N$ $a_1 + \dots + a_k = 2n$ tenemos $a_1a_2 + \dots + a_{k-1}a_{k} \leq n^2$.
Deje $a_1, \dots, a_{k+1} \in \mathbb N$$a_1 + \dots + a_{k+1} = 2n$, luego
$$a_1a_2 + \dots + a_{k-2}a_{k-1} + a_{k-1}a_k + a_ka_{k+1} =$$
$$a_1a_2 + \dots + a_{k-2}(a_{k-1} + a_{k+1}) + (a_{k-1} + a_{k+1})a_k - a_{k-2}a_{k+1} \leq$$
$$n^2 - a_{k-2}a_{k+1} < n^2.$$
