¿Cuál es la motivación de la definición de los ideales primarios?

Question

$$xy\in\mathfrak q\:\Rightarrow\:\text{either $ x\in\mathfrak q $ or $ y^n\in\mathfrak q $ for some $ n\gt0 $}.$$

Los ideales primarios pueden considerarse como la generalización de los ideales primos y radicales.

¿Pero por qué se define así? No es simetría. Por qué no se define así:

$$xy\in\mathfrak q\:\Rightarrow\:\text{either $ x^n\in\mathfrak q $ or $ y^n\in\mathfrak q $ for some $ n\gt0 $}.$$

Answer 1

He visto esta pregunta muchas veces. El problema es que la segunda definición es estrictamente más débil que la primera.

Considere $(x^2,xy)$ en el ring $F[x,y]$ donde $F$ es un campo. Según la definición normal, no es primario ya que no contiene ninguna potencia de $y$ y no contiene $x$ .

Sin embargo, sí cumple la segunda definición. Si $ab$ está en $(x^2, xy)$ entonces $x$ divide una de $a$ ou $b$ y entonces el cuadrado de ese elemento está en este ideal.

La definición ordinaria relaciona los divisores de cero con los elementos nilpotentes. En el cociente de un anillo por un ideal primario, los elementos se dividen en elementos regulares y elementos nilpotentes. Dicho de otro modo, los divisores de cero son nilpotentes en dicho anillo.

Otra forma de pensar en los ideales primarios es que la condición es una mitad de la primacía. Un ideal es primo si es radical y primario. (Pero, en realidad, podrías sustituir primario por tu definición y seguiría siendo válido).