Composiciones de función en $L^p$

Question

Tenemos $f \in L^p$. El objetivo es mostrar que $\exists \psi \in C(\mathbb{R^+}, \mathbb{R^+})$ tal que % $ $$ \lim_{s \to +\infty} \frac{\phi(s)}{s}=+ \infty \text{ and } \phi(|f|) \in L^p$

Yo neeed un puntero sobre cómo comenzar.

Edición: Fui a mi profesor para obtener un Consejo y dijo que existe un función continua del $\psi$ tal que $\lim_{s \to \infty}\psi(s)=+\infty$ $\sum \psi(n)a_n

Answer 1

Hay varios enfoques, aunque fundamentalmente la idea es la misma: si una serie converge, se puede hacer más grande, mientras que la preservación de la convergencia.

Considerar la secuencia de $$f_n(x) = \begin{cases} |f(x)|, \quad &|f(x)|\ge n, \\ 0 \quad & |f(x)|<n \end{cases} \tag{1}$$ Observar que $\|f_n\|_{L^p}\to 0$$n\to\infty$. Por lo tanto, no es un stricly aumento de la secuencia de $n_k$ tal que $\|f_{n_k}\|_{L^p}\le 2^{-k}$. Definir $g(x) = \sum_k f_{n_k}$, en $L^p$.

Por construcción, $g$ es de la forma $\psi(|f|)$ $$\psi = \sum_{k} \chi_{[n_k,\infty)} $$ Por lo tanto, $\psi(s)/s\to\infty $$s\to\infty$.

Sin embargo no es el molesto requisito de continuidad. Una manera de evitarlo es reemplazar (1) con $$f_n(x) = \begin{cases} |f(x)|, \quad &|f(x)|\ge n+1, \\ |f(x)|\left(|f(x)|-n\right), \quad &n\le |f(x)|\le n+1, \\ 0 \quad & |f(x)|<n \end{cases} \tag{2}$$ y repetir. La función de $\psi$ ahora será la suma de los "cónico" funciones características. La continuidad de la suma es fácil de comprobar, ya que sólo un sumando cambia en un momento.