Estaba tratando de encontrar una solución aproximada a lo siguiente:
$\DeclareMathOperator\erf{erf}$
$$\frac12 \sqrt{\pi} \erf\left (\frac{x-2}{\sqrt{10}}\right) + \frac12 \sqrt{\pi} \erf \left(\frac{x+2}{\sqrt{10}}\right) = \frac25 \sqrt{\pi}$$
Esto equivale naturalmente a
$$\int_0^{\frac{x-2}{\sqrt{10}}} e^{-t^2} dt+ \int_0^{\frac{x+2}{\sqrt{10}}} e^{-t^2} dt = \frac25 \sqrt\pi$$
Lo que intenté entonces fue utilizar la aproximación de taylor y luego resolver las ecuaciones polinómicas.. pero los resultados que obtuve no se acercaban consistentemente a la solución correcta ( $x \sim 1.71$ ), obtenido con wolframio alfa
De hecho, utilizando $\displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \dots$
He obtenido las siguientes aproximaciones ( $x_i$ indica el resultado obtenido considerando los términos hasta $x^i$ ) $$x_1 \sim 1.12\ \ \ \ x_3 = -4.975 \ \ \ x_5 = 1.59 \ \ \ x_7 = -4.718 | 3.729 | 1.755 \ \ \ \ x_9 = 1.70$$
Preguntas
1) Si tengo en cuenta toda la serie, ¿qué me asegura que sólo se encontrará una solución (con $x_7$ Por ejemplo, encuentro $3$ soluciones reales)
2) Entiendo que mientras esté cerca $0$ la solución será una buena aproximación. Pero a priori no sé qué valores $x$ va a tomar, por lo que el error puede ser tan grande como $x$ y la aproximación de Taylor es inútil.
3) ¿Por qué (eventualmente) el error va a $0$ si uno toma toda la serie?
Creo que no tengo claro el paso entre el polinomio de Taylor (válido sólo cerca de un punto $x_0$ ) y las series (por qué exactamente son convergentes en todas partes (bueno, al menos en el caso de $e^x$ ) si consideramos una cantidad infinita de términos)
