Extensión de dimensión superior de Geometría Triangular

Question

Actualmente estoy explorando las generalizaciones de triángulo de la geometría de dimensiones superiores. Sé que "cuestiones importantes" de la geometría Euclidiana, ya han sido abordados y se considera obsoleto; la mayoría de los matemáticos son más curioso acerca de "espacios curvos", donde muchos de los "básicos" de las preguntas siguen siendo misterios. Sin embargo, creo que hay algunos muy fascinante resultados en esta geometría Euclidiana, que vale la pena la atención (aunque es probable que no tienen gran impacto en otras áreas de las matemáticas.)

De todos modos, yo soy, en particular, tratando de generalizar varios conceptos comunes en el tradicional triángulo de geometría como circumsphere/circuncentro (esfera circunscrita a un determinado simplex y su centro), insphere/incentro (esfera inscrita en un determinado simplex y su centro), ortocentro (intersección ortogonal de líneas trazadas a partir de los vértices de un determinado simplex a su opuesto faceta). Sin embargo, es más que posible que lo que estoy trabajando es abordado anteriormente.

Aquí es donde necesito vuestra ayuda. ¿Alguien sabe alguna referencia previa a los estudios?

Yo también voy estado dos teoremas que he descubierto en el camino, que se puede hacer antes de forma individual en otros contextos. Tenga en cuenta que el Teorema 1 es una versión simplificada de una cuestión que se ha abordado en las Matemáticas.SE anteriormente.

Definición. Dado $n$ vectores en $\mathbb{R}^{n-1}$ en general posición: $\{\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n\}$, cualquier punto de $\vec p\in \mathbb{R}^{n-1}$ puede ser expresado como una normalizado combinación lineal $\vec p =\sum p_i \vec a_i$ donde $\sum p_i=1$. A continuación, señalamos $(p_1,\cdots,p_n)$ $[\vec p]$ y la llamamos (absoluta) baricéntrico coordenadas de $\vec p$.

Teorema 1. Si dos puntos de $\vec p,\vec q$ han baricéntrico coordenadas $[\vec p]=(p_1,\cdots,p_n)$$[\vec q]=(q_1,\cdots, q_n)$, entonces podemos expresar la distancia entre los dos puntos en términos de baricéntrico coordenadas de la siguiente manera: $$||\vec p -\vec q||^2= -\frac12\sum_{1\le i,j\le n} (p_i-q_i)(p_j-q_j)||\vec{a}_i-\vec{a}_j||^2$$

Teorema 2. Denotar por $D$ la matriz tal que $D_{ij}=||\vec a_i-\vec a_j||^2$. No existe una única esfera $S$ que $\{\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n\}\subset S$. A continuación, un punto con coordenada baricéntrica $(x_1,\cdots, x_n)$ se encuentra en esta esfera iff $$ \sum_{1\le i,j\le n} {D}_{ij}x_ix_j=0$$

Answer 1

He estado interesado en la ampliación de los teoremas de plano la geometría euclidiana a dimensiones superiores durante algún tiempo, y estoy dispuesto a enviar pdf separatas de mi trabajo a las personas interesadas. Circumcenters, incenters, los centroides de simplices son de material común en los libros de texto en tetraedros y de dimensiones superiores simplices (véase la Corte (en inglés), Thebault (francés), Couderc y Ballicioni (francés). El ortocentro no existe para todos los tetraedros (es decir, las altitudes no siempre son concurrentes). Los simplices en el que las altitudes son concurrentes se llama orthocentric.

Junto con otros, tengo varios artículos sobre el orthocentric simlices, en la coincidencia de los centros, en las dimensiones superiores versiones de Proposiciones, 5, 6 del Libro 1 de los Elementos de Euclid (es decir, el pons asinorum o el puente de los asnos), en las dimensiones superiores versiones de Proposiciones 24, 25 del Libro 1 de los Elementos de Euclid (es decir, la boca abierta teorema), en las dimensiones superiores versiones de Arquímedes Arbelos teorema), y otros.

Si usted está interesado, por favor que me escriba para el intercambio de impresiones y pensamientos.

Answer 2

Estoy seguro de que vendrán otros con mucho más (que no saben nada acerca de la no-trivial de la geometría Euclidiana), pero he aquí un libro que he tenido durante cerca de 40 años, que (como acabo de aprender) está disponible gratuitamente en internet y que podrían ser de interés para usted:

Superior de la Geometría: Una Introducción a los Métodos Avanzados de Geometría Analítica por Frederick S. Woods (1922)

Aunque no tengo muy claro el tema de los Bosques del libro, a través de los años que he tenido mi copia, he volteado a través de ella un poco y he leído trozos y piezas de aquí y de allá, y es sobre esta base que creo que mucho de lo que usted está preguntando acerca de se puede encontrar en los Bosques del libro (pero en old fashioned lenguaje y de la terminología anticuada).

Si usted puede leer en francés, hay una enorme cantidad de literatura disponible sobre las propiedades de los tetraedros. Por ejemplo, véase la siguiente memoria:

Mémoire sur le Tétraèdre por José Neuberg (1886). Neuberg la memoria se compone de las primeras 72 páginas de google-libros del elemento.

Si usted puede leer en francés y tener acceso a una biblioteca decente (o están dispuestos a google para que libremente disponible digitalizado volúmenes), la revista de la Mathesis Recueil Mathématique (los volúmenes publicados de la fecha a partir de 1881 hasta 1965) tiene un gran número de artículos sobre las propiedades de los tetraedros otros no trivial temas en 2 y 3 dimensiones de la geometría Euclidiana.