Que la puerta principal siempre este cerrada

Question

Estoy interesado en si el valor esperado $$E_{X_3}\left[\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\right]<0$$ is always be negative or not. Here, I have $3$ random variables $X_1,X_2,X_3$, corresponding to the densities $f_1,f_2,f_3$ with their Cumulative distribution functions satifying $F_1(Y)>F_2(Y)>F_3(Y)$.

Si me reescribir la expectativa, he a $$\int_{\mathbb{R}}f_3(y) \log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d}y$$

Si me tome la expectativa con respecto a $X_1$ entonces he a $$E_{X_1}\left[\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\right]>0$$

Si me tome la expectativa con respecto a $X_2$ entonces he a $$E_{X_2}\left[\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\right]<0$$

debido a stochastical ordenando ${X_3}_{ST}>{X_2}_{ST}>{X_1}_{ST}$ desde $F_1(Y)>F_2(Y)>F_3(Y)$ supongo que debo tener $$E_{X_3}\left[\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\right]<0$$

¿tiene usted alguna idea de cómo puedo demostrarlo?

Gracias por tu ayuda.

Información adicional: Si $F_1(Y)>F_2(Y)>F_3(Y)$ $E[X_3]>E[X_2]>E[X_1]$

Answer 1

(Estos son los restos de un intento erróneo... la Búsqueda de un caso al $I>0$ todavía está abierto.)

Si $X_i=\frac{X}{a_i}$ $X$ estándar exponencial y $a_3\lt a_2\lt a_1$, $f_i(x)=a_i\mathrm e^{-a_ix}$ $x\gt0$ por lo tanto $$ \log\left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)=\log\left(\frac{a_1}{a_2}\right)-\left(a_1-a_2\right)\,x, $$ y la expectativa buscado es $$ I=E\left(\log\left(\frac{f_1(X_3)}{f_2(X_3)}\right)\right)=\log\left(\frac{a_1}{a_2}\right)-\frac{a_1-a_2}{a_3}. $$ Por lo tanto, $$ I\lt\log\left(\frac{a_1}{a_2}\right)-\frac{a_1-a_2}{a_2}\lt0. $$

Answer 2

Para algunos ${X_3}_{ST}>{X_2}_{ST}>{X_1}_{ST}>0$, afirmo que $$E[X_3^N]>E[X_2^N]>E[X_1^N],\quad N\geq 1$$ For $X_3=a_3X$, $X_2=a_2X$, $X_1=a_1X$, with $a_3>a_2>a_1$ es obvio. Para el caso general, no tengo ninguna prueba al respecto. Por el momento, sólo puedo suponer que también se aplica para el caso general.

Basado en esta suposición puedo crear cualquier función positiva $g_i$ ya que algunas de las combinaciones lineales de $X_i$, $i=1,2,3$.

$$\int_{\Omega}f_3(X_3)\{a_1X_3^N+a_2X_3^{N-1}...\}\mathrm{d}\mu>\int_{\Omega}f_2(X_2)\{a_1X_2^N+a_2X_2^{N-1}...\}\mathrm{d}\mu>\int_{\Omega}f_1(X_1)\{a_1X_1^N+a_2X_1^{N-1}...\}\mathrm{d}\mu$$

Aplicando esto a la función logaritmo $$\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}$$ we have $$\int_{\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}>1}f_3(y)\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d}y>\int_{\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}>1}f_2(y)\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d}y>\int_{\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}>1}f_1(y)\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d} y$$

De forma similar, tenemos

$$\int_{\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}<1}f_1(y)\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d}y>\int_{\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}<1}f_2(y)\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d}y>\int_{\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}<1}f_3(y)\log\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\mathrm{d} y$$

Para la conlusion yo estaba pensando acerca de la combinación de ambos, y tal vez si es necesario el uso de la desigualdad de Jensen. Estoy en el camino correcto o tengo problemas, incluso en el inicio donde hice la asunción?