Encontrar y ' ' con diferenciación implícita

Question

Bastante seguro de que me equivocaba $$ x^3 - 3xy + y^3 = 1 $$ $$ 3x^2-3xy'-3y+3y^2y'=0 $$ $$ 3y^2y'-3xy'=3y-3x^2 $$ $$ (3y^2-3x)y'=3y-3x^2 $$ $$ y' = \dfrac{y-x^2}{y^2-x} $$ $$ y" = \dfrac{(y^2-x)(y'-2x)-(y-x^2)(2yy'-1)}{(y^2-x)^2} $$ $$ y" = \dfrac{y^2y'-2xy^2-xy'+2x^2-2y^2y'+y+2x^2yy'-x^2}{(y^2-x)^2} $$ $$ y"=\dfrac{x^2-2xy^2+y+(2x^2y-x-y^2)y'}{(y^2-x)^2} $$ Después de subbing en $y'$, la expansión y la simplificación de los... $$ y" = \dfrac{x^2-2xy^2+y+3x^2y^2-2x^4y-xy+x^3-y^3}{(y^2-x)^3} $$ La respuesta debe ser $$ y" = -\dfrac{4xy}{(y^2-x)^3} $$

Answer 1

Como señaló en los comentarios, el error al conectar en el valor de $y'$. La parte que dice: debe decir $$x^2-2xy^2+y$ $: $$(x^2-2xy^2+y)(y^2-x)$ $

Esto se multiplica hacia fuera y ayuda a simplifica aún más.