¿Cómo sabemos si ciertos teoremas matemáticos son circulares?

Question

Hay un sinnúmero de teoremas matemáticos y lemmata, algunos de los cuales, obviamente, dependen de los demás.

Mi pregunta es: ¿cómo podemos saber que, por ejemplo, el Teorema de $A_1$- que utiliza un resultado demostrado en el Teorema $A_2$ que utiliza un resultado demostró en ... que utiliza un resultado demostrado en el Teorema $A_n$, lo que, de hecho, se basa en el hecho de que el Teorema de $A_1$ es cierto - no hacer la prueba del Teorema $A_1$ circular?

Básicamente, lo que estoy diciendo es que, como no existe una lista completa de todos los teoremas matemáticos, lemmata y corolarios (y lo que las declaraciones de los que dependen), ¿cómo podemos suponer que no hay dos teoremas será circular (no directamente, pero por una larga cadena de teoremas)?

Si no estoy en la articulación de mí mismo correctamente, por favor, me pregunta a elaborar. Gracias

Answer 1

La respuesta más corta es esta: porque teorema $A$ puede ser probado solamente usando teorema $B$ si ya está probado teorema $B$. Esta manera, la cadena circular no puede suceder nunca, puesto que $B$ sólo puede ser probado usando teoremas ya probados, significado $A$ no puede utilizarse para probar $B$ ni cualquier teoremas utilizados en la prueba de $B$ (o cualquier teorema utilizado en la prueba de un teorema utilizado en la prueba de un teorema utilizado en la...... utilizado en la prueba de $B$)

Answer 2

Usted debe echar un vistazo a las Pilas de Proyecto. No es una buena característica debido a la forma de teoremas y lemas están organizados que permite que usted tomó vistazo a los gráficos de dependencias para todos los resultados.

En otras palabras, si usted mira un cierto teorema o lema (por ejemplo aquí), usted puede buscar en los "gráficos de dependencia" de la sección en la parte inferior derecha para ver cada resultado que se utiliza en la prueba, y cada resultado se utiliza para probar los resultados y así sucesivamente (Aquí es una dependencia de la gráfica para el ejemplo anterior).

Estos gráficos sería dejar claro, por si había una dependencia circular, pero también la diversión sólo para ver y explorar. Esto es sólo para la geometría algebraica, así que no sé si algo así existe para otras partes de las matemáticas.

Answer 3

Creo que el argumento dado por 5xum es la razón básica de que podemos confiar en la mayoría de las pruebas. Sin embargo, sé de varios escenarios donde circular pruebas podrían conseguir posiblemente en la literatura.

Un escenario es un matemático escrito una serie de artículos publicados en paralelo. Si los documentos citan unos a otros, no podría ser una circularidad. Un destacado matemático (un medallista Fields) una vez me contó un caso que parece ser un argumento circular en una serie de artículos de un famoso matemático. Él creía que era en realidad un engaño deliberado. Ya que no he comprobado personalmente de esto, no voy a dar nombres. Aunque esto es posible, es bastante rara circunstancia.

Otro escenario es Un teorema que se publica. Más tarde teoremas B, C, ... se ha comprobado basado en el teorema A. más Tarde, otras pruebas del teorema se dan basada posiblemente en algunos de los teoremas B, C, ... más tarde, las pruebas son circulares y no válido, pero al menos el original del comprobante es válido, por lo que podemos tener no válido pruebas, pero al menos los teoremas son todas correctas. Excepto ... ¿y si el original de la prueba del teorema era errónea y nadie descubrió la falla? O, incluso si la falla en la prueba original fue descubierto, pero las posteriores pruebas están siendo aceptados como válidos. Puede ser muy difícil de resolver, lo que es válido y no válido si hay un montón de intervenir trabajo.

Algo Similar puede ocurrir cuando los libros se han escrito para que citan unos a otros. Sé de casos de declaraciones erróneas dado como "teoremas" en bien considerado y citado frecuentemente textos. A menudo, como "teoremas" se dejan como ejercicios o son reclamados para ser fácil de probar.

Así que ..., yo por lo general de confianza de la matemática de la literatura, pero es muy posible que hay circular pruebas hay. Yo también creo que hay muchas por descubrir errores en las pruebas. Cualquier persona que hace de programación de computadora sabe que los errores son inevitables y a veces terriblemente difíciles de encontrar, incluso en los aparentemente simple y clara de código. No tengo ninguna duda de que el mismo es cierto de las matemáticas, excepto que no hay que pasar por nuestras pruebas a través de los compiladores y los ejecute.

En el largo plazo, creo que la respuesta va a ser que algún día nos va a ejecutar nuestro pruebas a través de los compiladores, en la forma de los sistemas automatizados de prueba de los verificadores. Poco a poco, vamos a codificar todo de las matemáticas en la máquina verificable sistemas que no permiten circular pruebas.

Answer 4

No hay garantía, sin embargo como se ha mencionado en las otras respuestas, fundamental que los resultados vienen bajo el escrutinio que reduce las posibilidades de cualquier circularidad. Esto refleja el hecho de que las pruebas son más de un proceso social que seca la verificación formal. Los supuestos y el teorema de declaraciones son a menudo ajustado como consecuencia.

Muchos de los resultados se basan en una intuición, que puede ser engañosa, pero en general tiende a ser un razonable guía.

Algunas pruebas (los cuatro colores teorema) están basados en el ordenador, que añade una nueva dimensión a su pregunta.

En general, a mayor resultado ha sido de alrededor y de los que más se ha utilizado, la más probable es que no es circular.

Answer 5

Si el resultado es lo suficientemente importante, se ha comprobado (con fundamentos) por varios grupos independientes. I. e., en un curso de postgrado (no recuerdo el tema, lo siento) una asignación era leer y comentar acerca de un grupo de papeles. Eso significaba que cada vez familiarizado con los resultados se utiliza como un punto de partida en cada uno, y la comprobación de todo el marco. Efectivamente, encontramos un rincón caso en el que un teorema de error...

Importante teoremas conseguir muchas pruebas independientes (ver, por ejemplo, Aigner y Ziegler "Pruebas DEL LIBRO" algunos ejemplos, o la búsqueda de pruebas de Pitágoras teorema).