Confundido por la peculiar norma

Question

Que $X$ sea un subconjunto infinito de $ [0,1]$. En un ejercicio que estoy considerando la norma en $P([0,1])$ (polinomios en el intervalo unidad) definida por:

%#% $ De #% mi pregunta es, ¿cómo hacer sentido de secuencias convergentes bajo esta norma?

Por ejemplo, decir $$||p||_X=\sup_X |p|$ entonces una secuencia $X=[0,1/2]$ convergen a $p_n$ en $f$ sólo dirá me $||\cdot||_X$ $f$ y no el conjunto de $X$; entonces, ¿cómo puede determinarse completamente el límite $[0,1]$? Tal vez me estoy perdiendo aquí un punto crucial...

Answer 1

En cualquier normativa espacio vectorial, es imposible que una secuencia converge a dos límites diferentes. Así que si creemos que $\| \cdot \|_X$ realmente es una norma en el espacio vectorial $P([0,1])$, a continuación, "la singularidad de los límites" de la siguiente manera. Por supuesto, algunas secuencias de Cauchy no convergen a ningún límite en absoluto, pero eso es un tema aparte.

Para ser mas concreto, supongamos que $(p_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia de polinomios en $P([0,1])$, $(p_n)_{n=1}^\infty$ converge a $p \in P([0,1])$, y también que $(p_n)_{n=1}^\infty$ converge a $q \in P([0,1])$. A continuación, podemos demostrar que, necesariamente,$p = q$. Una manera de entender esto es la nota que $p$ $q$ debe estar de acuerdo en todos los puntos en $X$, y si dos polinomios de acuerdo en una infinidad de puntos, entonces los polinomios son iguales.