¿Cuál es la probabilidad de que las raíces de $P(x) = \frac{1}{4} x^2 +Ux+V^2$ son reales?

Question

<blockquote> <p>Asumir que $U$ y $V$, independiente variables al azar normalmente distribuidas, con media $0$y varianza $1$.</p> <p>Encontrar la probabilidad de que las raíces del polinomio $P(x) = \frac{1}{4} x^2 +Ux+V^2$ son reales.</p> </blockquote> <p>Esta es una pregunta que tenía que trabajar en mi mitad de la probabilidad de introducción. Es claro para ver analizando el discriminante eso $$\begin{align} \Bbb P(\text{roots of }P(x)\text{ are real}) &=\Bbb P(U^2-V^2\ge0) \\ &=\Bbb P(U^2\ge V^2) \\ &=\Bbb P(U\ge V\text{ or }-U\ge -V), \end {Alinee el} $$ pero ¿y después?</p> <p>Agradezco cualquier ayuda.</p> <p>¡Gracias de antemano!</p>

Answer 1

Puesto que las variables son independientes y distribuidas normalmente, la función codensity $u$ y $v$ es muy simétrica sobre $(0,0)$ en el plano de % de $(u,v)$. Están buscando $P(|U|\geq |V|)$. Dibujar la región '$|U|\geq |V|$' en el plano de % de $(u,v)$, tenemos dos sectores que son cada una cuarta parte del plano. Todos la simetría en la configuración nos permite concluir que la probabilidad es $\frac12$.