Pregunta muy básica de cálculo

Question

Que $f(x,y) = x^2y + xy^2 $ y que

$$R = { (x,y) : |x| \leq 1 , \; \; 0 \leq y \leq |x| } $$

Quiere: $\int_R f $

MI creación

$$ \int{-1}^1 \int{-x}^x f dydx $$

¿ES la integral correcto que tengo que calcular?

Gracias.

Answer 1

\begin{align} \int_{-1}^1 \int_{-x}^x f(x,y)\, dy\,dx&=\int_{-1}^1 \int_{-x}^x (x^2y+xy^2)\, dy\,dx\\ &=\int_{-1}^1 \left[\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{3}xy^3\right]_{y=-x}^x\,dx\\ &=\frac{2}{3}\int_{-1}^1 x^4\,dx\\ &=\frac{4}{3}\int_{0}^1 x^4\,dx\\ &=\frac{4}{3}\frac{1}{5}\left.x^5\right|_{0}^1\\ &=\frac{4}{15} \end{align}