Estoy teniendo dificultades con este ejercicio (de Elon LIMA del Curso de Análise, Vol. 2):
$f:U\longrightarrow\mathbb{R}$ es función diferenciable en el conjunto abierto $U\subset\mathbb{R}^n$. Deje $\{v_1,...,v_n\}$ ser un arbitrarias de $\mathbb{R}^n$$g^{ij}:=\left<v_i,v_j\right>$. Mostrar que grad$f(x)$ en esta base es $$\textrm{grad} f(x) = \sum_i(\sum_j g^{ij}\frac{\partial f}{\partial v_j})v_i$$ where $\frac{\partial f}{\partial v_j}$ is the directional derivative of $f$ along the vector $v_j$.
Traté de comenzar con la RHS con $\frac{\partial f}{\partial v_j}=\left<\textrm{grad}f(x),v_j\right>$ y llegando a $\sum_i \left<\textrm{grad}f(x),e_i\right>e_i $ que es la "canónica" (vea la Nota de abajo), la expresión para la graduación; la escritura de cada una de las $v_i$ $v_i=\sum_j \left<v_i,e_j\right>$ I se reduce a una suma de la forma $\sum_{i,j}\left<v_j,e_k\right>g^{ji}\left<v_i,e_l\right>$ que no reconozco y no parece simplificar.
Me estoy acercando de forma incorrecta? ¿Cómo se debe este problema a ser abordado? Estoy, obviamente, le falta algo, o malinterpretando las cosas.
NOTA: En el libro de texto, grad$f(x)$ se define como $\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)e_i$ donde $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ es lo habitual en la i-ésima derivada parcial en el punto de $x$.