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Ejercicio sobre expresando grad f (x) en otra base.

Estoy teniendo dificultades con este ejercicio (de Elon LIMA del Curso de Análise, Vol. 2):

$f:U\longrightarrow\mathbb{R}$ es función diferenciable en el conjunto abierto $U\subset\mathbb{R}^n$. Deje $\{v_1,...,v_n\}$ ser un arbitrarias de $\mathbb{R}^n$$g^{ij}:=\left<v_i,v_j\right>$. Mostrar que grad$f(x)$ en esta base es $$\textrm{grad} f(x) = \sum_i(\sum_j g^{ij}\frac{\partial f}{\partial v_j})v_i$$ where $\frac{\partial f}{\partial v_j}$ is the directional derivative of $f$ along the vector $v_j$.

Traté de comenzar con la RHS con $\frac{\partial f}{\partial v_j}=\left<\textrm{grad}f(x),v_j\right>$ y llegando a $\sum_i \left<\textrm{grad}f(x),e_i\right>e_i $ que es la "canónica" (vea la Nota de abajo), la expresión para la graduación; la escritura de cada una de las $v_i$ $v_i=\sum_j \left<v_i,e_j\right>$ I se reduce a una suma de la forma $\sum_{i,j}\left<v_j,e_k\right>g^{ji}\left<v_i,e_l\right>$ que no reconozco y no parece simplificar.

Me estoy acercando de forma incorrecta? ¿Cómo se debe este problema a ser abordado? Estoy, obviamente, le falta algo, o malinterpretando las cosas.

NOTA: En el libro de texto, grad$f(x)$ se define como $\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)e_i$ donde $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ es lo habitual en la i-ésima derivada parcial en el punto de $x$.

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Lennart Regebro Puntos 136

La definición de $g^{ij}$ es incorrecta. Tenemos $$g_{ij} = \langle v_i, vj \rangle$ $ y es la $g^{ij}$-entrada de la matriz inversa $(i,j)$ $(g{ij})^{-1}$. Con esta corrección, su enfoque está muy bien, excepto que usted debe tener $$vi = \sum{j = 1}^n \langle v_i, e_j \rangle e_j$ $ (no tiene el $ej$, tal vez fue un error tipográfico). A partir de la derecha, el cómputo es del tipo:\begin{align*} \sum{i, j = 1}^n g^{ij} \frac{\partial f}{\partial v_j} vi & = \sum{i, j = 1}^n g^{ij} \langle \operatorname{grad} f, v_j \rangle vi \ & = \sum{i,j = 1}^n g^{ij} \left\langle \operatorname{grad} f, \sum_{k = 1}^n \langle v_j, e_k \rangle ek \right\rangle \sum{l = 1}^n \langle v_i, e_l \rangle el \ & = \sum{i,j,k,l = 1}^n g^{ij} \left\langle \operatorname{grad} f, \langle v_j, e_k \rangle e_k \right\rangle \langle v_i, e_l \rangle el \ & = \sum{i,j,k,l = 1}^n g^{ij} \langle v_i, e_l \rangle \langle v_j, e_k \rangle \langle \operatorname{grad} f, e_k \rangle el \ & = \sum{i,j,k,l = 1}^n g^{ij} \delta_{kl} (v_i)_l (v_j)_k \langle \operatorname{grad} f, e_k \rangle el \ & = \sum{i,j,k = 1}^n g^{ij} (v_i)_k (v_j)_k \langle \operatorname{grad} f, e_k \rangle ek \ & = \sum{i,j = 1}^n g^{ij} g{ij} \sum{k = 1}^n \langle \operatorname{grad} f, e_k \rangle ek \ & = \sum{i,j = 1}^n \delta{ij} \sum{k = 1}^n \langle \operatorname{grad} f, e_k \rangle ek \ & = \sum{k = 1}^n \langle \operatorname{grad} f, e_k \rangle e_k \ & = \operatorname{grad} f. \end{align*}

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