La relación del ${\frak m+m=m}$ a la CA

Question

Dos preguntas simples: (De curso ${\frak m}$ denota un cardenal en el sentido débil en las reivindicaciones siguientes.)

1. Podemos probar en ZF que $\aleph_0\le{\frak m\Rightarrow m+m=m}$?
2. Si no, ¿cuál es la relación de esta norma para todos los cardenales ${\frak m}$ a de CA?

El más débil del principio de $\aleph_0\le{\frak m\Rightarrow m}+1={\frak m}$ puede derivar en ZF, y es bien conocido el resultado de Tarski que $\forall{\frak m}\ge\aleph_0,{\frak m\times m=m}$ implica que el axioma de elección, pero no estoy seguro sobre el resultado intermedio con ${\frak m+m=m}$.

Edit: Una pregunta relacionada: ¿es congruente con la ZF de que existe un cardenal ${\frak m}\ge\aleph_0$ tal que ${\frak m=n+p}$${\frak n<m}$${\frak p<m}$? Es difícil decir si ${\frak m+m=m}$ se opone a este escenario.

Answer 1

Agregar de a poco en Andrés respuesta, no es sólo que $\frak m+m=m$ no implica $\sf AC_\omega$, pero en la otra dirección, podemos tener $\sf DC_\kappa$ (para un arbitrario $\kappa$) sino $\frak m+m=m$ falla.

Decimos que $A$ $\kappa$-amorfo establecer si cada subconjunto de $A$ tiene cardinalidad $<\kappa$, o su complemento tiene cardinalidad - pero no tanto.

Tenga en cuenta que si $A$ $\lambda$- amorfo, entonces para $\kappa>\lambda$, $A$ es $\kappa$-amorfo así. Decimos que $A$ es un propiamente $\kappa$-amorfo conjunto si es $\kappa$-amorfo, y $\aleph(A)=\kappa$. En otras palabras, si cada ordinal menor que $\kappa$ puede ser inyectado en la $A$.

Para todos los períodos de $\kappa$ es consistente con $\sf ZF+DC_{<\kappa}$ que existe un [correctamente] $\kappa$-amorfo conjunto.

Ahora, si $A$ $\kappa$- amorfo establecer, a continuación,$|A|<|A|+|A|$. Este es un trivial de observación desde $A\times2$ puede ser escrito como la unión de dos conjuntos, ni ha complemento de tamaño $<\kappa$. Así que no puede haber una inyección de $A\times2$ a $A$, pero es evidente que existe una inyección en la otra dirección.

Por lo tanto, $\sf ZF+DC_\kappa$ no puede probar la $\frak\forall m. m+m=m$.

(En un poco más confuso, soy de conmutación entre el$\sf DC_\kappa$$\sf DC_{<\kappa}$, pero el primero puede ser pensado como $\sf DC_{<\kappa^+}$.)

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A la pregunta agregada, por el camino, este es un simple resultado. Si no recuerdo mal es por Tarski.

El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que siempre que $\frak p,m,n$ son los cardenales y $\frak p+m=n$ $\frak p=n$ o $\frak m=n$.

La prueba es sencilla, vamos a $\frak a$ ser un cardenal, y deje $\kappa=\aleph(\frak a)$ el número de Hartogs de un conjunto de tamaño $\frak a$. A continuación, $\frak a+\kappa=a$ o $\frak a+\kappa=\kappa$. Pero $\kappa\nleq\frak a$, por lo que la primera opción es imposible, por lo tanto,$\frak a\leq\kappa$, y puede ser bien ordenado. $\square$

En particular, si el axioma de elección falla, vamos a $\frak a$ no ser bien ordenado cardenal y $\kappa$ su Hartogs número, $\frak a+\kappa$ es un conjunto que puede ser descompuesto en dos estrictamente menor cardenales.

También es coherente con $\sf ZF$ que cada cardenal que no está bien orderdable puede ser escrita de tal manera:

Monro, Del G. P. Descomponible Cardenales. Fondo. De matemáticas. vol. 80 (1973), no. 2, 101 a 104.

Answer 2

Supongamos que $A$ es infinito y Dedekind finito. A continuación, $\mathfrak m=|A\cup\mathbb N|$ cumple que $|A|<\mathfrak m$, $\aleph_0<\mathfrak m$, y $\mathfrak m+\mathfrak m>\mathfrak m$.

Para ver la última desigualdad, tenga en cuenta que si $\mathfrak m+\mathfrak m=\mathfrak m$ $A\times 2$ incrusta en $A\cup\mathbb N$, dicen que a través de $f$, pero sólo un subconjunto finito de que incrusta en $\mathbb N$, por lo que un conjunto estrictamente mayor que $A$ debe incrustar en $A$.

Tenga en cuenta que se Dedekind infinito es la misma como la incrustación de $\omega$, por lo que si exigimos $\mathfrak m+\mathfrak m=\mathfrak m$ para todos infinito cardenales $\mathfrak m$, o incluso para todos los Dedekind-infinito cardenales, entonces no hay ningún Dedekind-finito de conjuntos. Pero no, Contables Elección es estrictamente más fuerte que la falta de infinito Dedekind finito de conjuntos. Esto es debido a Pincus, ver este MO pregunta.

En cuanto a si $\mathfrak m+\mathfrak m=\mathfrak m$ (el idemmultiple hipótesis) nos da Contables de la Elección, la respuesta es de nuevo no, como lo demuestran

Gersón Sageev. Una independencia resultado sobre el axioma de elección, Ann. De matemáticas. Logic 8, (1975), 1-184. MR0366668 (51 #2915).