Tengo el siguiente problema:
El desplazamiento transversal $u(x, t)$ de un semi-infinita cadena elástica satisface
$$\dfrac{\partial^2{u}}{\partial{t}^2} = c^2 \dfrac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}$$
para $x > 0$, $t > 0$,
con las condiciones iniciales
$$u(x, 0) = \dfrac{\partial{u(x, 0)}}{\partial{t}} = 0$$
para $x > 0$,
y la condición de frontera
$$-\beta \dfrac{\partial{u(0, t)}}{\partial{x}} = f(t)$$
para $t > 0$.
Mostrar, usando transformadas de Laplace, que la solución puede ser escrito
$$u(x, t) = \dfrac{c}{\beta} H \left( t - \dfrac{x}{c} \right) \int^{t - x/c}_0 f(u) \ du,$$
donde $H(x)$ es la función de Heaviside. Se puede interpretar este resultado físicamente?
Y tengo la siguiente solución:
Tomando la transformada de Laplace de la PDE rendimientos
$$s^2 \mathcal{L} \{u\} - su(x, 0) - u_t(x, 0) = c^2 \dfrac{d^2}{dx^2} \mathcal{L} \{ u(x, t) \}$$.
Sustituyendo las condiciones iniciales que nos pone
\begin{align} &s^2 \mathcal{L} \{ u \} = c^2 \dfrac{d^2}{dx^2} \mathcal{L} \{ u(x, t) \} \\ &\Rightarrow \dfrac{d^2}{dx^2} \mathcal{L} \{ u(x, t) \} = \dfrac{s^2}{c^2} \mathcal{L} \{ u(x, t) \} \\ &\Rightarrow \dfrac{d^2}{dx^2} \mathcal{L} \{ u(x, t) \} - \dfrac{s^2}{c^2} \mathcal{L} \{u(x, t) \} = 0 \end{align}
Podemos resolver este homogénea de segundo orden lineal DE:
\begin{align} &m^2 - \dfrac{s^2}{c^2} = 0 \\ &\Rightarrow m = \pm \dfrac{s}{c} \end{align}
Por lo tanto, la solución general a este DE es
$$\mathcal{L} \{ u(x, t) \} = A(s) e^{x\frac{s}{c}} + B(s)e^{-x \frac{s}{c}},$$
donde $A(s)$ e $B(s)$ son funciones arbitrarias.
Para aplicar las condiciones de contorno, podemos diferenciar la solución general con respecto a $x$:
$$\dfrac{\partial}{\partial{x}} \mathcal{L} \{ u(x, t) \} = \dfrac{sA(s)}{c}e^{\frac{sx}{c}} - \dfrac{sB(s)}{c} e^{-\frac{sx}{c}}$$
Y ya que hemos tenido la condición de contorno
$$- \beta \dfrac{\partial}{\partial{x}} u(0, t) = f(t),$$
tenemos
$$\dfrac{\partial}{\partial{x}} \mathcal{L} \{ u(0, t) \} = \dfrac{sA(s)}{c} - \dfrac{sB(s)}{c}$$
Tomando la transformada de Laplace de la condición de contorno, obtenemos
$$- \beta \dfrac{\partial}{\partial{x}} \mathcal{L} \{ u(0, t) \} = \mathcal{L} \{ f(t) \}$$
Así, obtenemos
\begin{align} &-\dfrac{\mathcal{L} \{f(t) \}}{\beta} = \dfrac{sA(s)}{c} - \dfrac{sB(s)}{c} \\ & \Rightarrow -\dfrac{\mathcal{L} \{ f(t) \}}{\beta} = \dfrac{s}{c}(A(s) - B(s)) \\ & \Rightarrow \dfrac{c}{\beta} \dfrac{ \mathcal{L} \{ f(t) \}}{s} + A(s) = B(s) \end{align}
El uso de este para eliminar la $B(s)$ a partir de la solución general de las hojas
$$\dfrac{\partial}{\partial{x}} \mathcal{L} \{ u(x, t) \} = \dfrac{sA(s)}{c} e^{\frac{sx}{c}} - \left( \dfrac{c}{\beta} \dfrac{ \mathcal{L} \{ f(t) \}}{s} + A(s) \right) \dfrac{s}{c} e^{-\frac{sx}{c}}$$
Ahora podemos restringir $A(s)$ utilizando el teorema del valor inicial con las condiciones iniciales:
\begin{align} 0 &= u(x, 0) \\ &= \lim_{t \to 0} u(x, t) \\ &= \lim_{s \to \infty} s \mathcal{L} \{ u(x, t) \} \end{align}
para todos los $x > 0$.
El uso de la solución general, vemos que
$$\lim_{s \to \infty} s \mathcal{L} \{ u(x, t) \} = \lim_{s \to \infty} A(s) e^{\frac{sx}{c}} s,$$
desde $\lim_{t \to 0} f(t) = 0$ significa que $\lim_{s \to \infty} s \mathcal{L} \{ f(t) \} = 0$.
Estoy confundido acerca de esta última parte:
El uso de la solución general, vemos que
$$\lim_{s \to \infty} s \mathcal{L} \{ u(x, t) \} = \lim_{s \to \infty} A(s) e^{\frac{sx}{c}} s,$$
desde $\lim_{t \to 0} f(t) = 0$ significa que $\lim_{s \to \infty} s \mathcal{L} \{ f(t) \} = 0$.
No veo cómo llegaron
$$\lim_{s \to \infty} s \mathcal{L} \{ u(x, t) \} = \lim_{s \to \infty} A(s) e^{\frac{sx}{c}} s$$
?
Les agradecería mucho si alguien pudiera por favor tome el tiempo para aclarar esto.
