Derivado de la covariante Lorentz del vielbein determinante

Question

Denotar por $\mathcal{D}_m$ la derivada covariante Lorentz, $$\mathcal{D}_m=\partial_m-\frac{1}{2}\omega_m{}^{ab}M_{ab} \tag{1}$$ donde los índices de $m,n,p,\dots$ son del mundo de los índices, índices de $a,b,c,\dots$ son tangentes índices, $\omega_{m}{}^{ab}$ es la de Lorentz conexión y $M_{ab}$ son los generadores de Lorentz (en una arbitraria de la representación). Me gustaría para el cálculo de la derivada covariante de la determinante de la vielbein, $e:=\text{det}(e_m{}^{a})$, en tanto la torsión y la torsionless de los casos. Vamos a considerar $D=3+1$ para la concreción.

En el torsionless caso, se sabe que la derivada covariante Lorentz $\mathcal{D}_m$ coincide con el habitual derivada covariante $\nabla_m$ de la relatividad general (en tosion gratuita de su caso) de la participación de los símbolos de Christoffel. Por lo tanto, ya sabemos que $\nabla_m\sqrt{-g}=0$ y $\sqrt{-g}=\sqrt{-\text{det}(g_{mn})}=$ $=\sqrt{-\text{det}(e_m{}^{a}e_n{}^{b}\eta_{ab})}=\sqrt{e^2}=|e|$, podemos concluir que el $\mathcal{D}_me=0$.

Cómo se podría ir sobre la computación $\mathcal{D}_me$ sin usar el conocimiento $\nabla_m\sqrt{-g}=0$?

En el torsionless caso, el giro de la conexión podría ser expresada en términos de la vielbein a través de la torsión de condición libre, que eliminaría $\omega_{m}{}^{ab}$ $(1)$ a partir del cálculo en favor de la vielbein. Más allá de la torsión, libre de condición es equivalente a la afirmación de que la vielbein es covariantly constante, $\hat{\nabla}_me_{n}{}^{a}=0$ donde $\hat{\nabla}_a=\nabla_m-\frac{1}{2}\omega_{m}{}^{bc}M_{bc}$, que también puede ser útil. Pero estas son ideas de lo que podría ser útil en el cálculo, no estoy seguro de cómo ponerlas en práctica. Para empezar, ni siquiera estoy seguro de cómo interpretar la expresión $M_{bc}e$. Normalmente tendríamos $M_{bc}\phi=0$ para cualquier escalar campo $\phi$, pero sospecho que este no es el caso aquí (dado que preveo $\mathcal{D}_me=0$$\partial_m e\neq 0$). Sé que en virtud de un infinitesimal local de la transformación de Lorentz parametrizada por $K^{ab}=-K^{ba}$, $e$ es invariable, pero creo que no se puede aplicar aquí.

Una vez que vea cómo la torsionless caso se hace, voy a tener una grieta en el caso de la torsión de mí mismo.

Edición 1

Podría alguien confirmar si es o no es válido lo siguiente: $$\begin{align} \frac{1}{2}\omega_n{}^{bc}M_{bc}\text{det}(e_{m}{}^{a})&=\frac{1}{2}\omega_n{}^{bc}M_{bc}\big(\frac{1}{4!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}e_{m_1}{}^{a_1}e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\big)\\ &=\frac{4}{4!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}\big(\frac{1}{2}\omega_{nbc}M^{bc}e_{m_1}{}^{a_1}\big)e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\\ &=\frac{1}{3!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}\big(\omega_{nbc}\eta^{a_1b}e_{m_1}{}^{c}\big)e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\\ &=-\frac{1}{3!}\omega_{nc}{}^{a_1}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}\big(\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}e_{m_1}{}^{c}e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\big)\\ &=-\frac{1}{3!}\omega_{nc}{}^{a_1}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}\big(\text{det}(e_{m}^{a})\varepsilon^{ca_2a_3a_4}\big)\\ &=-\frac{1}{3!}\cdot 3!e\omega_{nc}{}^{a_1}\delta^{c}_{a_1}\\ &=0 \end{align}$$ donde en la última línea que he utilizado el antisymmetry $\omega_{n}{}^{bc}=-\omega_{n}{}^{cb}$. Esto implicaría que $\mathcal{D}_me=\partial_me$, en tanto la torsión y la tosionless caso, que estoy dudoso de (pero casualmente, es exactamente lo que se necesita para un cálculo independiente de que estoy haciendo).

Edit 2

Similar a la anterior que puedo mostrar que $\nabla_m e=0$, $$\begin{align} \nabla_m e &=\nabla_m\big(\frac{1}{4!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}e_{m_1}{}^{a_1}e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\big)\\ &=\partial_m\big(\frac{1}{4!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}e_{m_1}{}^{a_1}e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\big)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-4\big(\frac{1}{4!} \varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}(\Gamma^p_{mm_1}e_{p}{}^{a_1})e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\big)\\ &=\partial_me-\frac{1}{3!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\Gamma^p_{mm_1} e\varepsilon_{pm_2m_3m_4}\\ &=\partial_me-e\Gamma^p_{mp} \\ &=\partial_me-e(\frac{1}{2}g^{-1}\partial_mg)\\ &=\partial_me-\partial_me\\ &=0 \end{align}$$

Estos dos resultados (en edición 1 y 2) son consistentes con el hecho de que el Vielbein es covariantly constante (verdadero para torsionless caso) ya que por un lado tenemos el uso de $\hat{\nabla}_me_{n}{}^{a}=0$) $$\begin{align} \hat{\nabla}_me=\hat{\nabla}_m\big(\frac{1}{4!}\varepsilon^{m_1m_2m_3m_4}\varepsilon_{a_1a_2a_3a_4}e_{m_1}{}^{a_1}e_{m_2}{}^{a_2}e_{m_3}{}^{a_3}e_{m_4}{}^{a_4}\big)=0 \end{align}$$ y el otro lado tenemos $$\begin{align} \hat{\nabla}_me=(\nabla_m-\frac{1}{2}\omega_m{}^{bc}M_{bc})e=0. \end{align}$$ Sin embargo, hay una inconsistencia con la afirmación de que $\mathcal{D}_m$ coincide con $\nabla_m$ en el torsionless caso (dado que de acuerdo a lo anterior tenemos $\mathcal{D}_me=\partial_me$$\nabla_me=0$). ¿Alguien ver dónde está el problema?

Answer 1

Notación:

Aquí en esta respuesta voy a romper con algunas convenciones presentes en el OP pregunta. En particular, griego $\mu,\nu...$ índices indican los componentes tomado con respecto a un holonomic (coordenadas) marco (también conocido como "el mundo de los índices" o "curva de los índices") y latin $a,b...$ índices indican local de Lorentz índices (también conocido como "plano de índices"). Voy a trabajar en $n$ dimensiones.

En adición a su pregunta, OP también es confusa/interesados acerca de la relación entre la torsión y la covariante constancia de que el elemento de volumen. Por esta razón, vamos a utilizar una conexión de $\nabla_\mu$ que es la métrica compatible, pero no torsionless.

Preliminares:

En un campo de vector con los índices mundiales, la conexión actúa como $$\nabla_\mu X^\nu=\partial_\mu X^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\rho}X^\rho,$$ where the coefficients $\Gamma^\nu_{\mu\rho}$ no son las habituales símbolos de Christoffel, pero los símbolos de Christoffel ampliado con la contorsion tensor.

En un campo de vectores con locales de Lorentz índices, la conexión actúa como $$\nabla_\mu X^a=\partial_\mu X^a+\omega_{\mu}{}^{a}{}_{b}X^b,$$ where the $\omega_{\mu}{}^{a}{}_{b}$ coefficients are not the usual Ricci rotation coefficients, but the Ricci rotation coefficients extended with terms involving torsion. Note that I will not use the Lorentz algebra generators directly, the $\omega_{\mu}{}^{a}{}_{b}$ coeficientes son Lorentz álgebra de valoración, y cualquier otra representación se deriven directamente de éstos.

También se debe señalar que, técnicamente, estos son la misma conexión, en dos representaciones distintas.

El vielbein es $e^\mu_a$ y el covielbein es $\theta^a_{\mu}$. Estos son inversos el uno del otro como matrices.

Yo también tenga en cuenta que el vielbein (y la covielbein) es covariantly constante, incluso si la conexión es torsionful. De hecho, son covariantly constante, incluso si la conexión no es ni siquiera métrica-compatible.

La confusión puede surgir del hecho de que la derivada covariante de la vielbein depende de que los índices de la vielbein se considera como "tensor de índices". Si ambos índices son considerados como tensor de índices, a continuación, $\theta^a_\mu$ es sólo la identidad del tensor $\delta^\mu_\nu$ expresó con una mezcla de índices. Es derivado se desvanece como un postulado de la coherencia: $$\nabla_\mu\theta^a_\nu=\partial_\mu\theta^a_\nu+\omega_{\mu}{}^{a}{}_{b}\theta^b_\nu-\Gamma^\rho_{\mu\nu}\theta^a_\rho=0.$$

Por otro lado, si un llamado covariante exterior de derivados se calcula como $$\nabla_\mu\theta^a_{(\nu)}-\nabla_\nu\theta^a_{(\mu)}=T^a_{\mu\nu},$$ , donde los índices entre paréntesis son excempt de la derivada covariante (no se considera como tensor de índices), entonces el lado derecho de esta expresión es la torsión de la 2-forma.

La conexión se supone que para ser métrica compatible, sin embargo, por lo que tenemos $$0=\nabla_\mu g_{ab}=\partial_\mu g_{ab}-\omega_{\mu}{}^{c}{}_{a}g_{cb}-\omega_{\mu}{}^{c}{}_{b}g_{ac}=-(\omega_{\mu ba}+\omega_{\mu ab}),$$ where we have used that in a local Lorentz frame, $g_{ab}$ has constant components. Ergo, the connection is skew-symmetric in $ab$ incluso si es torsionful, sólo métrica de compatibilidad es necesario.

Densidades en vielbein formalismo - derivada covariante de densidades:

Por el bien de la simplicidad, vamos a suponer que el colector en el que estamos trabajando es orientable, y una orientación positiva ha sido elegido. Voy a expresar todo en positivo coordenadas, o positivo marcos. De esta manera, podemos deshacernos del valor absoluto en la transformación de la regla de densidades.

Deje $\pi_{\mu_1...\mu_n}$ denotar la de Levi-Civita símbolo. No se supone que es un objeto geométrico. Totalmente antisimétrico tensor $\rho_{\mu_1...\mu_n}$ tiene sólo un componente independiente, y puede ser escrita como $$\rho_{\mu_1...\mu_n}=\rho\cdot\pi_{\mu_1...\mu_n},$$ where $\rho=\rho_{12...n}$.

No es difícil comprobar que $\rho$ transforma como un escalar densidad de peso 1 (sin el valor absoluto signo, pero nos hemos librado de ella por la elección de la orientación).

Por lo tanto, se obtiene una dualidad entre escalares densidades de peso 1, y totalmente antisimétrico covariante de tensores de orden $n$ ($n$-formas).

La canónica elemento de volumen en un pseudo-Riemann colector se define como $$\mu_{\mu_1...\mu_n}=\sqrt{|\det g|}\pi_{\mu_1...\mu_n}=|\det\theta|\pi_{\mu_1...\mu_n}.$$

Nota: el griego de los índices de esta forma el volumen tensor es tomado con respecto a un holonomic marco.

La forma del volumen de tensor en un local de Lorentz marco puede ser calculado como $$\mu_{a_1...a_n}=\mu_{\mu_1...\mu_n}e^{\mu_1}_{a_1}...e^{\mu_n}_{a_n}=|\det\theta|\pi_{\mu_1...\mu_n}e^{\mu_1}_{a_1}...e^{\mu_n}_{a_n}=\det\theta\det e \pi_{a_1...a_n}=\pi_{a_1...a_n}.$$ Therefore, if we define the single, independent component of the volume tensor as the function $f$ multiplying the Levi-Civita symbol $\pi_ {...}$, entonces llegamos a la importante consecuencia de que en un local de Lorentz marco, el componente de la densidad de volumen/tensor es de 1.

La derivada covariante conserva simetrías, así que si $\rho_{a_1...a_n}$ es completamente antisimétrico tensor de campo se expresa en un local de Lorentz marco, podemos calcular su derivada covariante como $$\nabla_\mu\rho_{a_1...a_n}=(\nabla_\mu\rho_{1...n})\pi_{a_1...a_n},$$ so let us calculate $\nabla_\mu\rho_{1...n}$ for a generic $\rho$.

Tenemos $$\nabla_\mu\rho_{1...n}=\partial_\mu\rho_{1...n}-\omega_\mu{}^b{}_{1}\rho_{b2...n}-...-\omega_\mu{}^b{}_{n}\rho_{12...b} \\ =\partial_\mu\rho-\rho(\omega_\mu{}^b{}_{1}\pi_{b2...n}+\omega_\mu{}^b{}_{n}\pi_{12...b}) \\ =\partial_\mu\rho-\rho\omega_{\mu}{}^b{}_b=\partial_\mu\rho.$$

Debido a la antisymmetry de $\pi$, en cada contracción en el paréntesis, sólo un término sobrevive - aquella en la $b$ tiene el mismo valor como el segundo más bajo índice de $\omega$, por lo que todo el paréntesis de la expresión se reduce a un rastro, y hemos utilizado el hecho de que la conexión coeficiente de fuga de seguimiento debido a antisymmetry (que a su vez deriva de la métrica de compatibilidad, como se dijo al comienzo).

Hemos obtenido que cuando se expresa en el local de Lorentz marcos, densidades puede ser parcialmente diferenciadas.

Sin embargo también hemos obtenido que $$\mu_{a_1...a_n}=1\cdot\pi_{a_1...a_n},$$ and so $$\nabla_\mu \mu=\partial_\mu 1=0,$$ y hemos obtenido el resultado deseado.

También tenga en cuenta que sólo hemos asumido la compatibilidad, pero no torsionlessness en la conexión de $\nabla$.