Encontrar acción y grupo $G$ $G$ $\mathbb{R}^2$ tal que $\mathbb{R}^2 / G \approx M \setminus \partial M$, abierto tira de Mobius

Question

Quiero encontrar a un grupo de $G$ y una acción de $G$ $\mathbb{R}^2$ tal que $\mathbb{R}^2 / G \approx M \setminus \partial M$ donde $M$ es el Mobious tira, y $\partial M$ es su límite, un círculo.

Algunos pensamientos: cuando $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ actúa en $\mathbb{R}^2$, con la traducción, obtenemos un toro. También, si actuamos con $\mathbb{Z}_{2}$ sobre el torus $S^{1} \times S^{1}$ $m \times (z_{1}, z_{2}) = (z_{2}, z_{1})$ si $m=1$ $(z_{1}, z_{2})$ si $m=0$, entonces tenemos una banda de Mobius. Entonces pensé que tal vez actuando en $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{2}$ sería una buena idea, haciendo de cada grupo ( $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_{2}$ ) actuar en consecuencia. Sin embargo, esta acción no produce los resultados deseados. Hay uno mejor que hace?

Answer 1

Si usted me permite considerar la tira de Mobius abierta como el fibrado no trivial del círculo $S^1$ % fibra $\mathbb{R}$, con un giro, luego puedo dar un tal grupo $G$. Que $G:=\mathbb{Z}$. La acción de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}^2$ está dada por $$n\cdot (x,y):=(x+n,(-1)^{n}y)$ $ % los $x,y\in\mathbb{R}$y cada $n\in\mathbb{Z}$.