Considerar la ecuación $a_n +b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$ donde $a_n, b_n \in \mathbb{Z} \ge 1$. Demostrar que $\gcd(a_n, b_n) = 1$.

Question

Considere la ecuación de $a_n +b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$ donde $a_n, b_n \in \mathbb{Z} \ge 1$. Demostrar que $\gcd(a_n, b_n) = 1$.

Sé que $(1+2\sqrt{3}) = 1^3 + 3(1)^2(\sqrt{2})^2 + 3(1)(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = 7+5\sqrt{2}$

por lo $a_n = 7, b_n = 5$ por la expansión binomial.

Así que mi estrategia es demostrar esto a través de la inducción matemática. El caso base es fácil. Lo necesito para el paso inductivo es conseguir que la relación entre el$(a_n+1, bn+1)$$(a_n, b_n)$. Así, obtenemos:

$$a_{n+1}, b_{n+1}\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})^n = (1+\sqrt{2})(a_n +b_n\sqrt{2}) = (a_n + 2b_n)+(a_n+b_n)\sqrt{2}$$

Así que tenemos $a_{n+1} = a_n + 2b_n, b_{n+1} = a_n + b_n$

Así que ahora estoy tratando de usar el algoritmo de euclides para mostrar que $\gcd(a_{n+1}, b_{n+1}) = 1$. Así, obtenemos:

$\gcd(a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n + 2b_n,a_n + b_n)=$

$a_n+2b_n= 1 *(a_n + b_n) + b_n =$

$a_n + b_n = 1 * (b_n) + a_n$

$b_n = 0 * (a_n) + bn$

Pero, ¿dónde puedo ir desde aquí?

Cualquier ayuda se agradece!

-IdleMathGuy

Answer 1

vale la pena enfatizar que la multiplicación de un (columna) vector de enteros por un número entero (plaza) de la matriz con el entero inversa (de modo determinante es $\pm 1$) conserva el mcd de los vectores... Tu (fila) de vectores $(a,b)$ se asigna a $(a+2b, a+b);$ como columnas, la matriz es $$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) $$ con determinante $-1$

Si me demanda $$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) $$ es obvio que $\gcd(u,v)$ divide tanto a a$x,y$, de modo que $\gcd(u,v) | \gcd(x,y).$ Si a continuación, señalar que $$ \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right) $$ vemos que $\gcd(x,y) | \gcd(u,v),$ por lo tanto $$\gcd(x,y) = \gcd(u,v) $$

Answer 2

Aquí es un enfoque alternativo. Tienes $$a_n-b_n\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^n\,.$ $ que es, $$\begin{align}a_n^2-2b_n^2&=\big(a_n-b_n\sqrt2\big)(a_n+b_n\sqrt2\big)\&=\big((1-\sqrt2)(1+\sqrt2)\big)^n=(-1)^n\,.\end{align}$ $, $$x_n\,a_n+y_n\,b_n=1\,,$ $ donde $x_n:=(-1)^n\,a_n$ y $y_n:=-2\,(-1)^n\,b_n$ son números enteros. Así, $\gcd(a_n,b_n)=1$.

Answer 3

Su enfoque inductivo está bien.

Supongamos que $d\in\mathbb{N}\setminus{1}$ es tal que el $d\mid a{n+1}$ y $d\mid b{n+1}$. $d\mid a{n+1}-b{n+1}=bn$ Y $d\mid2b{n+1}-a_{n+1}=a_n$. Con esta observación, es fácil de completar una prueba inductiva.

Answer 4

No $d=\gcd(a{n+1},b{n+1})$ % $ $$d\mid a_n+2b_n\;\;\;{\rm and}\;\;\; d\mid a_n+b_n$

así $$d\mid (a_n+2b_n)-(a_n+b_n) = b_n$ $

pero entonces $$ d\mid (a_n+b_n)-b_n = a_n$ $

así $d=1$.

Answer 5

Tenemos $$ \pmatrix{a_{n+1} \\ b_{n+1}} = \pmatrix{1 & 2 \\ 1 & 1} \pmatrix{a_n \\ b_n} $$ y así $$ \pmatrix{a_n \\ b_n} = \pmatrix{1 & 2 \\ 1 & 1}^n \pmatrix{a_0 \\ b_0} = \pmatrix{1 & 2 \\ 1 & 1}^n \pmatrix{1 \\ 0} $$ Por lo tanto, $\pmatrix{a_n \\ b_n}$ es la primera columna de $\pmatrix{1 & 2 \\ 1 & 1}^n$. Escribir $$ \pmatrix{1 & 2 \\ 1 & 1}^n = \pmatrix{a_n & c_n \\ b_n & d_n} $$ Tomando determinantes, obtenemos $$ (-1)^n = a_n d_n - b_n c_n $$ lo que implica $\gcd(a_n, b_n) = 1$.

(Resulta y fácilmente demostrado por inducción que $d_n=a_n$$c_n=2b_n$, lo cual es bueno pero no es relevante aquí.)