¿Cómo simplificar o acotar esta suma?

Question

No soy un matemático, así que disculpa esta pregunta trivial. ¿Hay alguna forma de simplificar o acotar la siguiente suma?

$$ \sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{i^2}{\sigma^2}\right)}}.$$

¿Puedo utilizar series geométricas?

EDIT: Tengo dificultades por la potencia $2$ es decir, si la suma fuera $ \sum\limits_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{i}{\sigma^2}\right)}} $ ¡entonces sería fácil aplicar series geométricas!

Answer 1

Alternativa:

Desde $f(x) = \exp(-x^2/\sigma^2) \searrow 0$ podemos escribir $ \DeclareMathOperator{\diff}{\,d\!} $ \begin{align*} &\sum_1^n \exp\left(-\frac {j^2}{\sigma^2}\right) \\ &= \sum_1^n \int_{j-1}^j \exp\left(-\frac {j^2}{\sigma^2}\right)\diff x \\ &\leqslant \sum_1^n \int_{j-1}^j \exp\left(-\frac {x^2}{\sigma^2}\right) \diff x \\ &=\sigma \int_0^n \exp\left(-\frac {x^2}{\sigma^2}\right) \diff \left(\frac x \sigma \right)\\ &= \sigma \int_0^{n/\sigma} \exp(-x^2)\diff x\\ &\leqslant \sigma \int_0^{+\infty}\exp(-x^2)\diff x\\ &= \frac \sigma 2 \sqrt \pi \end{align*}

Answer 2

TL;DR: tres límites relativamente fáciles son las ecuaciones numeradas a continuación.

No puedes aplicar directamente la fórmula de la serie geométrica por la razón mencionada en tu edición. Pero ten en cuenta que $i\geq1$ , por lo que tenemos $$\sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{i^2}{\sigma^2}\right)}}\leq\sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{i\cdot1}{\sigma^2}\right)}}$$ Esto último, por supuesto, es una suma geométrica. Tomando la suma sobre todos los $i$ (incluyendo $i=0$ ), obtenemos $$(1-e^{-\sigma^{-2}})^{-1} \tag{1} \label{eqn:first}$$ El cálculo para un número finito de términos no es mucho más difícil, y sólo difiere en un factor exponencialmente decreciente.

Si esto no es un vínculo lo suficientemente fuerte, hay otras técnicas. Si $n<\sigma$ Entonces podemos llegar muy lejos elementalmente. Tenga en cuenta que $e^x\geq x+1$ dividiendo cada lado, obtenemos $$e^{-x}\leq(1+x)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-x)^k}$$ si $|x|<1$ . Tomando $x=\left(\frac{i}{\sigma}\right)^2$ Así pues, obtenemos \begin{align*} \sum_{i=1}^n{e^{-\frac{i^2}{\sigma^2}}}&\leq\sum_{i=1}^n{\sum_{k=0}^{\infty}{\left(-\left(\frac{i}{\sigma}\right)^2\right)^k}} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\sum_{i=1}^n{\left(\frac{i}{\sigma}\right)^{2k}}} \tag{*} \label{eqn:star} \end{align*}

(Podemos intercambiar las sumas porque una es finita.) Ahora, para todo $k$ la función $\left(\frac{\cdot}{\sigma}\right)^{2k}$ está aumentando en $[0,\infty)$ Así pues, tenemos $$\int_0^n{\left(\frac{i}{\sigma}\right)^{2k}\,di}\leq\sum_{i=1}^n{\left(\frac{i}{\sigma}\right)^{2k}}\leq\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{2k}+\int_1^n{\left(\frac{i}{\sigma}\right)^{2k}\,di}$$ Evaluando las integrales y simplificando, tenemos $$0\leq\sum_{i=1}^n{\left(\frac{i}{\sigma}\right)^{2k}}-\frac{n}{2k+1}\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{2k}\leq\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{2k}\left(1-\frac{1}{(2k+1)n^{2k}}\right)$$

Sustituyendo en $\eqref{eqn:star}$ obtenemos \begin{align*} \sum_{i=1}^n{e^{-\frac{i^2}{\sigma^2}}}&\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^kn}{2k+1}\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{2k}}-\sum_{j=0}^{\infty}{\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{4j+2}\left(1-\frac{1}{(4j+3)n^{4j+2}}\right)} \\ &\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^kn}{2k+1}\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{2k}}-\sum_{j=0}^{\infty}{\left(\frac{n}{\sigma}\right)^{4j+2}} \\ &=\sigma\tan^{-1}{\left(\frac{n}{\sigma}\right)}-\frac{\left(\frac{n}{\sigma}\right)^2}{1-\left(\frac{n}{\sigma}\right)^4}\hspace{4em}(n<\sigma) \tag{2} \end{align*}

Por último, para el caso general podemos conseguir una ligera mejora en $\eqref{eqn:first}$ a través de la teoría de especialización . $\{x_i\}_{i=1}^n\mapsto\sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{x_i}{\sigma^2}\right)}}$ es convexo y simétrico en sus argumentos, por lo que Schur-convexo . Sea $b_i=i^2$ y $a_i=\left(\frac{2n-1}{3}\right)i$ . Evidentemente, para todos los $m\leq n$ tenemos $$\sum_{i=1}^m{a_i}=\frac{m(m-1)}{2}\cdot\frac{2n-1}{3}\geq\frac{m(m-1)(2m-1)}{6}=\sum_{i=1}^m{b_i}$$ con igualdad si $m=n$ . Así, $\vec{a}$ se especializa $\vec{b}$ Así que \begin{align*} \sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{i^2}{\sigma^2}\right)}}&=\sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{b_i}{\sigma^2}\right)}} \\ &\leq\sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{a_i}{\sigma^2}\right)}} \\ &=\sum_{i=1}^n{\exp{\left(-\frac{(2n-1)i}{3\sigma^2}\right)}} \\ &\leq\sum_{i=0}^{\infty}{\exp{\left(-\frac{(2n-1)i}{3\sigma^2}\right)}} \\ &\leq\left(1-\exp{\left(\frac{2n-1}{3\sigma^2}\right)}\right)^{-1} \tag{3} \end{align*}

Answer 3

Hay un límite superior bastante trivial que $\frac{-i^2}{\sigma^2}$ es negativo, por lo que al exponenciarlo se obtiene un número menor que 1, por lo que la suma es como máximo $n$ . Si quieres un límite superior constante, puedes acotarlo con la serie geométrica.

Answer 4

El asunto es que $e^{-(x/ \sigma)^2}$ en el rango $0 \le x < \approx \sigma$ es muy empinada.
Así que, a menos que $\sigma$ es bastante alta, no se puede obtener una buena aproximación por la integral.
Pero, por supuesto, todo depende de los parámetros en juego y de la precisión requerida.

Sugerencia :

Para los valores generales de $n$ y $\sigma$ podría ser interesante aprovechar el hecho de que que
el La transformada de Fourier de una gaussiana es una gaussiana en sí misma .

Entonces estás tomando la señal $e^{-\, (t/ \sigma)^2}$ , la ventana entre $0 \le t \le n/ \sigma$ , tomando $n$ muestras de ello y después de que usted está tomando $n$ veces la media.
Todas estas operaciones tienen una sencilla traducción al dominio de la frecuencia.
Sin embargo no voy a ir más allá sin saber si estáis reconocidos en este campo, y guardad esto como una pista.

Además, podría ser interesante esta identidad $$ \sum\limits_{k \in \mathbb Z} {\exp \left( { - \pi \left( {k/c} \right)^2 } \right)} = c\sum\limits_{k \in \mathbb Z} {\exp \left( { - \pi \left( {k\,c} \right)^2 } \right)} $$ informados al final del párrafo de Propiedades en este artículo de la wikipedia .