Si $n$ es tan un número entero positivo, que $8|n^2$, entonces el $4|n$

Question

Soy nuevo en el tema de la matemática discreta.

Esta declaración es verdadera o falsa y no tiene que ser probado. He luchado con este ejercicio durante bastante tiempo, y esto es lo que se me ocurrió:

• Si $8|n^2$ $n^2$ es incluso
• Si $n^2$ es incluso, a continuación, $n$ es incluso
• Si $n$ es positiva y $4|n$ $n = 4k$ ($k$ - cualquier entero positivo)
• Si $n = 4k$ $n^2 = 16k^2$
• $8|16k^2$ $4|4k$ , por lo tanto la afirmación es verdadera

$n|m$ $n$ divide $m$

Alguien puede comprobar si me lo demostró o no?

Answer 1

Si $k$ es el número de factores $2$ que $n$ tiene en su primera factorización, entonces sabemos que $n^2$ $2k$ factores.

Se nos da eso divisiones de $8$$n^2$ que $2k \ge 3$. $k$ Es un entero esto significa que el $k \ge 2$, de hecho así $4|n$.

Answer 2

No, usted no probó lo. En ningún punto de lo que usted escribió como algo equivalente a "... y por lo tanto $4\mid n^2$".

Usted afirmó (correctamente) que $n$ incluso. ¿Cómo podría $n$ entonces no ser un múltiplo de $4$? Sólo si el $n=2k$, whre $k$ es un número impar. Pero entonces $n^2=4k^2$ y $k^2$ es impar, $8\nmid4k^2$. Por lo tanto, una contradicción es alcanzado y así $4\mid n$.

Answer 3

Lo siento, pero su prueba es incorrecta, porque en cierto punto usted supone que$4\mid n$.

Como$8\mid n^2$,$n$ es par, entonces$n=2a$. Por lo tanto,$8\mid 4a^2$, que implica$2\mid a^2$. Por lo tanto,$a$ es par:$a=2b$ y finalmente$n=4b$.

Answer 4

Sugerencia: el número de primos en la factorización prima de un cuadrado es par. Ahora $8=2^3$.

Answer 5

No, no se confirma.

Lo que ha resultado es el inverso implicación (si $4|n$,$8|n^2$) y los dos primeros pasos de su razonamiento parece ser que no se utiliza en absoluto.

Hay dos consejos que pueden ayudarle a iniciar el comprobante (dos alternativas de pruebas - trate de hacer ambos). Creo que se puede administrar de forma de continuar con la prueba a partir de estos puntos.

Sugerencia

Usted puede comenzar su prueba de hacer notar, que el $n=m2^k$ para algunos entero $k$ e impares $m$.

Sugerencia

Alternativamente, usted puede comenzar su prueba de hacer notar, que si $a=b\cdot c$$8|a$, $4|b$ o $4|c$.