Demuestre que si $m \equiv 3 \mod 4$ entonces $m$ tiene un factor primo $p \equiv 3 \mod 4$ .

Question

Así que la pregunta es la siguiente:

(1) Demuestre que un número natural que es congruente con 3 mod 4, tiene un factor primo que es congruente con 3 mod 4.

(2) Demuestre que hay infinitos números primos que cumplen $p \equiv 3 \mod 4$ .

Ya he intentado responderlas, pero me gustaría saber si lo que he hecho es correcto:

(1) Puesto que $m \equiv 3 \mod 4$ tenemos que todos los factores primos de $m$ son impar. Ahora supongamos por contradicción que todos los factores primos de $m$ son congruentes a 1 mod 4. Para llegar a una contradicción tenemos que demostrar que $m$ también es congruente con 1 mod 4. Sea $p = 4a + 1$ y $q = 4b + 1$ . Entonces tenemos que $pq = (4a + 1)(4b + 1) = 4(4ab + a + b) + 1 \equiv 1 \mod 4$ . Ahora tenemos nuestra contradicción y podemos decir que tiene un $m$ factor principal $p \equiv 3 \mod 4$ .

(2) Supongamos por contradicción que existe una cantidad finita de números primos $(\{p_1, p_2, \ldots, p_n\})$ que son congruentes con 3 mod 4.

Considere el número $q = -1 + 4(p_1 p_2 \ldots p_n)$ . Desde $p_m$ , $m = 1, 2, \ldots, n,$ divide $4(p_1 p_2 \ldots p_n)$ entonces ninguno de ellos se divide $q$ .

También tenemos que $q mod 4 = 4(p_1 p_2 \ldots p_n) -1 \equiv -1 \mod 4 \equiv 3 \mod 4$ .

Entonces pr. (1) tenemos que q tiene un factor primo que es congruente a 3 mod 4. Como ninguno de los números primos {p1,p2, ,pn} son factores de q tenemos que el propio q es un número primo congruente con 3 mod 4, lo cual es una contradicción puesto que afirmamos que ya habíamos enumerado todos los números primos congruentes con 3 mod 4.

¿Son estas pruebas suficientemente válidas?

Answer 1

Tu prueba de la primera afirmación está incompleta, ya que sólo tratas con números que pueden escribirse como el producto de dos números primos. Sin embargo, la idea es buena. Es fácil demostrar por inducción que el producto de cualquier número congruente con $1$ modulo $4$ vuelve a ser congruente con $1$ modulo $4$ .

La otra prueba está bien.