Función Lineal: f(ax + by) = af(x) + bf(y) vs y = ax+b.

Question

Estudié una definición de función lineal en nuestro curso de Aprendizaje Automático:

f(ax + by) = af(x) + bf(y)

Usando esta definición, podemos demostrar que y = ax + b NO es una función lineal. Esto es contrario a lo que esperaba.

Por ejemplo: f(x) = 2x + 3 NO es lineal.
f(0 + 1) = f(1) = 5
pero f(0)+f(1) = 3+ 5 = 8. 
Por lo tanto, f(0+ 1) != f(0)+f(1)

Todos sabemos que y = ax + b es una función lineal (sé que esto es una función lineal desde hace años), pero no es lineal según esta definición. Estoy muy confundido.

¿En qué situación deberíamos usar la definición anterior?

Recurso:

https://homepage.divms.uiowa.edu/~idarcy/COURSES/34/linearfn2s.pdf

Answer 1

La función lineal $\neq$ polinomio lineal

La primera es lo que has definido en tu curso de aprendizaje automático. La segunda son funciones como $ax+b$. Consulta wikipedia para obtener más detalles y contexto.

Las funciones lineales son muy importantes en el tema de álgebra lineal.

Answer 2

La ecuación $y=ax+b$ es la composición de una función lineal $y=ax$ con una translación $b$. Incluso si $y=ax+b$ no es lineal, preserva algunas propiedades de la función lineal relacionada y se denomina una función afín y más precisamente como una línea afín en ese caso.