La distinción que estamos viendo es una muy real, y es tratado seriamente en tanto filosófica y lógica matemática; el predominio de la extensional enfoque debe ser tomado como un signo de su fuerza en vez de la debilidad/uninterestingness de intensional enfoques.
Usted está consiguiendo precisamente en el extensionality frente a intensionality problema. El extensional perspectiva (por el axioma) dice que un conjunto está determinado completamente por sus elementos; el intensional de la vista, por el contrario, dice que no hay información adicional relevante, y por lo general este tipo de datos es llevado a ser algún significado o proceso asignado al conjunto.
Es importante tener en cuenta que este problema persiste fuera de la teoría de conjuntos. Para un lenguaje natural ejemplo, "morningstar" y "eveningstar" son extensionally equivalente pero son a priori las diferentes nociones; por lo que podemos imaginar un "intensional" universo de nombres sentado encima de un "extensional" universo de referentes. Esta es una gran motivación filosófica de la lógica, y en particular de la lógica modal; ver, por ejemplo, aquí. Es también un aspecto natural de intuitionism, o de cualquier filosofía de la matemática que considera a la matemática del universo como un "producto de la mente" (o similar).
Para ser un poco más específico:
Su enfoque particular sobre cómo duro que es para "saber" que dos cosas son iguales, nos lleva a un muy noción precisa en la lógica, es decir, comprobable igualdad (o más generalmente "comprobable ---ness"). En general esto es muy importante la idea, incluso cuando sólo nos interesa una y semántica extensional de la imagen de las cosas. Creo que el lugar esto es más evidente es en Henkin la prueba del teorema de completitud. Dada una coherente teoría de la $\Gamma$, Henkin (tal vez después de la modificación de $\Gamma$ en una forma técnica) se ve en la estructura de la $\mathcal{T}(\Gamma)$ asignado $\Gamma$ como sigue:
Elementos de $\mathcal{T}(\Gamma)$ son clases de equivalencia de términos en el idioma de $\Gamma$, con la equivalencia de la relación de ser "$\Gamma$-comprobable de igualdad".
El lenguaje de la $\Gamma$ interpretan en este conjunto de clases de equivalencia diciendo que las relaciones se sostienen precisamente cuando ellos seguramente espera: por ejemplo, si $U$ es un unario relación símbolo en el lenguaje de la $\Gamma$ $t$ es un término que en el lenguaje de la $\Gamma$, $U$ tiene de la clase de equivalencia de a $t$ $\mathcal{T}(\Gamma)$ fib $\Gamma$ demuestra $U(t)$.
Así que los objetos de $\mathcal{T}(\Gamma)$ son "realmente" sólo los nombres de los objetos. Tenga en cuenta que todo esto está teniendo lugar dentro de la lógica clásica: la perspectiva intensional es útil incluso dentro de extensional de las matemáticas.
Por el contrario, uno podría argumentar que "intensionality es extensionality en disfraz" - cada vez que nos movemos de un "extensional mundo de los objetos" a "intensional mundo de los objetos-a través de-definiciones," lo que realmente hemos hecho es mover a un "extensional mundo de las definiciones de" nuestros nuevos objetos en las definiciones, y las tratan extensionally! Esto es de espíritu similar a cómo muchos de los valores de la lógica puede ser ubicado dentro de la lógica de primer orden, o de cómo la lógica clásica puede ser embebido en intuitionistic lógica, o ... Básicamente cada perspectiva es tan amplia que puede simular el otro. Esta es una buena cosa para cada uno (en mi opinión).
- Otro ejemplo de este fenómeno es la idea de "comprobable totalidad" en la prueba de la teoría. A grandes rasgos, una función se puede probar total relativa a una determinada teoría, si tiene alguna definición que la teoría resulta define un total función: es decir, la teoría debe demostrar $\forall x\exists !y\varphi(x,y)$. El real nociones de comprobable totalidad considerado surgir mediante la restricción de la atención a las definiciones de ciertas formas, por ejemplo, a través de máquinas de Turing, y la comprensión de lo que las funciones de una teoría de la prueba son total (en cierto sentido) nos da un montón de información acerca de la teoría como un todo. Esto está estrechamente relacionado con una similar, pero más técnico de la noción de prueba de la teoría: la prueba de la teoría de los números ordinales.
