Suma infinita de los recíprocos de los cuadrados de las longitudes de las tangentes desde el origen a la curva $y=\sin x$

Question

Trazamos las tangentes a la curva $y=\sin x$ desde el origen. Sean los puntos de contacto de estas tangentes con la curva $(x_k,y_k)$ donde $x_k\gt 0; k\ge 1$ tal que $x_k\in (\pi k, (k+1)\pi)$ y $$a_k=\sqrt {x_k^2+y_k^2}$$ (Que es básicamente la distancia entre el punto de contacto correspondiente y el origen, es decir, la longitud de la tangente desde el origen) .

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Quería saber el valor de

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{a_k ^2}$$

Ahora esta pregunta acaba de surgir en mi cerebro y no está copiada de ninguna tarea ni de ningún libro así que no sé si finalmente llegará a una conclusión o no.

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Intenté escribir la ecuación de la tangente a esta curva desde el origen y luego encontrar los puntos de contacto, pero no obtuve un resultado adecuado que simplemente $x$ las coordenadas de los puntos de contacto serán las soluciones positivas de la ecuación $\tan x=x$

Al buscar en Internet durante algún tiempo sobre las soluciones de $\tan x=x$ Obtuve dos propiedades importantes de esta ecuación. Si $(\lambda _n)_{n\in N}$ denotan las raíces de esta ecuación entonces

$$1)\sum_n^{\infty} \lambda _n \to \infty$$ $$2)\sum_n^{\infty} \frac {1}{\lambda _n^2} =\frac {1}{10}$$

Pero no fueron de mucha ayuda.

También intenté escribir los puntos en coordenadas polares para ver si eso podía ser de alguna ayuda, pero seguí fracasando estrepitosamente.

No se me ocurre ningún método, así que cualquier otro método será abiertamente bienvenido.

Cualquier ayuda sería muy beneficiosa para resolver este problema.

Gracias de antemano.

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Editar:

Probando un poco más usando algo de geometría de coordenadas encontré que el lugar de los puntos de contacto es $$x^2-y^2=x^2y^2$$

Por lo tanto, para la suma sólo tenemos que encontrar $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac {\lambda _k ^2 +1}{\lambda _k ^2 (\lambda _k ^2 +2)}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{\lambda _k ^2} -\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{\lambda _k ^2 (\lambda _k ^2 +2)}=\frac {1}{10} -\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{\lambda _k ^2 (\lambda _k ^2 +2)}=\frac {1}{10} -\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{2\lambda _k ^2} +\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{2(\lambda _k ^2 +2)} =\frac {1}{20}+\frac {1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac {1}{\lambda _k ^2 +2} $$

Ahora para el segundo sumatorio sí lo pensé para formar una serie pero para que las raíces sean $\lambda _k^2 +2$ sólo tenemos que sustituir $x\to \sqrt {x2}$ en series de potencia de $\frac {\sin x-x\cos x}{x^3}$ y luego obtener el resultado, pero todavía era muy confuso para mí.

Utilizando $x\to\sqrt {x-2}$ en la serie de potencias anterior y utilizando Wolfy Tengo una serie. Así que necesitamos la relación del coeficiente de $x$ al término constante por lo que el valor del segundo sumatorio es igual a $$\frac {5\sqrt 2\sinh(\sqrt 2)6\cosh(\sqrt 2)}{4(2\cosh(\sqrt 2)\sqrt 2\sinh(\sqrt 2))}?$$

¿Es este valor correcto o lo he hecho mal?

También me gustaría saber si hay algún otro método para resolver este problema

Answer 1

Los puntos de contacto son donde la tangente a $y=\sin(x)$ que tiene una pendiente de $\cos(x)$ tiene la misma pendiente que la línea del origen, $\frac{\sin(x)}x$ . Por lo tanto, estamos buscando los puntos en los que $x_k=\tan(x_k)$ .

El cuadrado de la longitud de la línea desde el origen es $x_k^2+\sin^2(x_k)=\frac{x_k^4+2x_k^2}{x_k^2+1}$ . Por lo tanto, la suma que buscamos es $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{x_k^2+1}{x_k^4+2x_k^2}\tag1 $$

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El residuo de $f(z)=\frac1{\tan(z)-z}-\frac1{(z^2+2)(\tan(z)-z)}$ donde $z\ne0$ y $\tan(z)=z$ es $$ \frac1{z^2}-\frac1{z^4+2z^2}=\frac{z^2+1}{z^4+2z^2}\tag2 $$

Así, la suma de todos los residuos de $f(z)$ es $2$ veces la suma que buscamos más el residuo de $f(z)$ en $z=0$ que es $\frac3{20}$ y la suma de los residuos de $f(z)$ en $z=\pm i\sqrt2$ que es $-\frac1{2-\sqrt2\tanh(\sqrt2)}$

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Tenga en cuenta que el límite $$ \lim_{k\to\infty}\int_{\gamma_{k,\lambda}}f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{\gamma_\lambda}f(z)\,\mathrm{d}z\tag3 $$ donde $k\in\mathbb{Z}$ y los caminos son $$ \scriptsize\gamma_{k,\lambda}=[k\pi+i\lambda,-k\pi+i\lambda]\cup\underbrace{[-k\pi+i\lambda,-k\pi-i\lambda]}_{\le\frac{2\lambda}{k\pi}}\cup[-k\pi-i\lambda,k\pi-i\lambda]\cup\underbrace{[k\pi-i\lambda,k\pi+i\lambda]}_{\le\frac{2\lambda}{k\pi}}\tag4 $$ y $$ \gamma_\lambda=(\infty+i\lambda,-\infty+i\lambda)\cup(-\infty-i\lambda,\infty-i\lambda)\tag5 $$ y $2\pi i$ veces la suma de todos los residuos de $f(z)$ es $$ \lim_{\lambda\to\infty}\int_{\gamma_\lambda}f(z)\,\mathrm{d}z=-2\pi i\tag6 $$

$(6)$ es la suma de los residuos de $f(z)$ sobre todas las singularidades es $-1$ . Esto es $2$ veces la suma que buscamos más $\frac3{20}-\frac1{2-\sqrt2\tanh(\sqrt2)}$

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Por lo tanto, $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{x_k^2+1}{x_k^4+2x_k^2} &=-\frac{23}{40}+\frac1{4-2\sqrt2\tanh\left(\sqrt2\right)}\\ &=0.097374597898595746715 \end{align} }\tag5 $$

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Comprobación numérica

Obsérvese que cada una de las raíces es un poco menos que un múltiplo impar de $\frac\pi2$ :

$x_1=4.4934094579090641753\approx\frac{3\pi}2$
$x_2=7.7252518369377071642\approx\frac{5\pi}2$
$x_3=10.904121659428899827\approx\frac{7\pi}2$
$x_4=14.066193912831473480\approx\frac{9\pi}2$

Así, podemos subaproximar la suma utilizando $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{x_k^2+1}{x_k^4+2x_k^2} &\approx\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k+1)^2\pi^2/4+1}{(2k+1)^4\pi^4/16+(2k+1)^2\pi^2/2}\\ &=0.092481600740508343614 \end{align} $$

Answer 2

Respuesta a la pregunta original

Simple límite $\pi k\leq a_k \leq \sqrt{\pi^2(k+\frac12)^2+1}$ muestra que $\dfrac{a_k}{a_{k+1}}\to 1$ . Así que ambas sumas divergen.

Respuesta a la pregunta modificada

De nuevo, (1) diverge. (2) también diverge, ya que elevar al cuadrado el cociente no cambia $\to 1$ . (3) converge ya que se tiene $\pi k<\lambda_k=x_k<a_k$ dando $\dfrac{1}{a_k^2}\leq\dfrac{1}{\lambda_k^2}\leq\dfrac{1}{k^2}$ . Esto es, por supuesto, un límite muy flojo.

Encontrando $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\lambda_k^2+2}$ para su uso en $\sum a_k^{-2}$

Recordemos una forma de encontrar $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\lambda_k^{-2}=\frac{1}{10}$ es escribir la expansión en serie de $$ \sin x-x\cos x $$ y ponerlo a cero, leyendo los términos más bajos $$ x^3\left(\frac{1}{3}-\frac{x^2}{30}+\frac{x^4}{840}+\dots\right)=0 $$ y después de cancelar $x^3$ factor en el frente, se lee $\dfrac{1/30}{1/3}$ a la manera de la fórmula recíproca de Viete (salvo que para hacerla rigurosa hay que hacerla bien con infinitos productos, pero esa es otra historia).

Así que ahora queremos hacer esto con $\lambda_k^2+2$ . Se quiere construir una serie cuyas raíces sean $\lambda_k^2+2$ La forma heurística más sencilla es utilizar la expansión de la serie completa anterior (ignorando el $x^3$ ) y tratar de expresarlo como una serie de potencias en $x^2+2$ y leer la suma de los recíprocos de las raíces.