¿Qué es? $R$ en la fórmula de la velocidad de escape?

Question

Desde el fórmula de la velocidad de escape

$$v_e = \sqrt \frac {2GM}R.$$

Algunas fuentes dicen que es la distancia entre dos objetos con masa $M$ y $m$ . Algunos ejemplos que he leído, sólo utilizaban radios de la $M$ . Para simplificar, utilicemos un cohete y el planeta Tierra.

Busqué en Google la velocidad de escape de la Tierra como 11,186 km/s. Miré a través de ejemplo como este . Este ejemplo en particular dice que la velocidad de escape es \begin {align} v_e & = \sqrt {2gR} \\ & = \sqrt {2 \times9.8\ : \mathrm {m/s^2} \times6.4\times10 ^3\: \mathrm {km}} \\ & = 11.2 \: \mathrm {km/s} \end {align} Sé que $g = \frac {GM}{R^2}$ pero en este ejemplo, la velocidad de escape se calcula utilizando r como radio de la tierra. El radio de la Tierra según google es de 6371 km o 6,4e6 (el valor utilizado para el cálculo).

Mi pregunta es, $R$ el radio de la tierra ( $M$ ) o la distancia entre el cohete ( $m$ ) y la Tierra? Lo que creo que tiene sentido es el radio de la Tierra ( $M$ ) porque cómo se podría calcular la velocidad de escape sin conocer la altura que tiene que recorrer.

Para añadir sobre la información Distancia de M y m Algunas fuentes dicen que R es en realidad $$R = r_e + h_\mathrm{atmosphere}$$

Answer 1

$R$ es la distancia entre los centros de ambos objetos. En centros Me refiero a su centros de masa (el punto del que "tiran" sus fuerzas gravitatorias, por así decirlo).

$R$ es, pues, la suma del radio de la Tierra $R_e$ el radio del objeto $r_o$ (si es esférico) y la altura $h$ se encuentra por encima del suelo:

$$R=R_e+h+r_o$$

En el caso de los objetos pequeños no muy alejados del suelo (como las piedras lanzadas, los cohetes disparados y los satélites en órbita), a menudo se descuida el radio del objeto y la distancia. El pequeño radio de una piedra o de un satélite es insignificante comparado con los ~6400 km de la Tierra. Añadir a esta cifra 1 km o incluso 10 km o 100 km de distancia no supone ninguna diferencia práctica.

$$R=R_e+h+r_o\approx R_e$$

Pero al calcular la velocidad de escape de, por ejemplo, la luna de Plutón desde Plutón, dos objetos comparables en tamaño, no se puede despreciar ninguno de los dos radios. Y cuando se calcula la velocidad de escape de nuestra propia Luna desde la Tierra, sin duda hay que incluir también la distancia de ~400 000 km (los tamaños son casi insignificantes comparados con esto).

Answer 2

Para entender realmente lo que significa esta fórmula, veamos cómo derivarla. Sea $m$ sea la masa de un cuerpo en la superficie de la Tierra y sea $R_\mathrm{Earth}$ sea el radio de la Tierra. Nuestro objetivo es calcular la velocidad inicial que necesita el cuerpo para "escapar" del campo gravitatorio terrestre. "Escapar", en este contexto, significa alcanzar el infinito, donde se sabe que el campo gravitatorio es nulo. Además, la velocidad de escape se define como la velocidad mínima necesaria, físicamente esto significa que nuestro cuerpo alcanza el infinito sin más velocidad $v_\infty = 0$ .

Partamos del principio de conservación de la energía:

$$E = \frac{1}{2}mv_0^2-\frac{M_\mathrm{Earth} m G}{R_\mathrm{Earth}}$$

Acabamos de triste que el potencial en la infidad es cero, lo mismo para la velocidad. Por lo tanto, tenemos

$$\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{M_\mathrm{Earth} m G}{R_\mathrm{Earth}}=0.$$

Resolviendo esta ecuación para $v_0$ nos encontramos con que:

$$v_0=\sqrt \frac{2M_\mathrm{Earth}G}{R_\mathrm{Earth}}.$$

Si no tenemos en cuenta la fricción del aire, no hay razones para considerar la existencia de la atmósfera.

Answer 3

Técnicamente, " R "es el radio entre el centro de la Tierra (o el cuerpo que sea) y el cohete. Que $11.186 \:\rm km/s$ es la velocidad de escape en la superficie de la Tierra pero a cien kilómetros por encima de la Tierra la velocidad de escape es $11.099\:\rm km/s$ .

Suponiendo que se alcance la velocidad de escape y se comience a avanzar por la costa, la velocidad disminuirá constantemente porque la atracción de la Tierra sigue actuando sobre la nave. A un millón de kilómetros de la Tierra su velocidad puede haber disminuido a $1\:\rm km/s$ pero no pasa nada porque a esa distancia la velocidad de escape sigue siendo $0.89\:\rm km/s$ .

Espero que eso ayude.

Answer 4

R es fundamentalmente el distancia de la nave espacial y la celeste . (Léase: la distancia de la nave al centro del planeta exactamente en el momento en que alcanza la velocidad que arroja la fórmula) Por lo tanto, la velocidad de escape depende del punto de partida: salir de la Tierra lanzando desde su superficie es mucho más difícil que escapar desde GEO.

Pero, para hacer comparables los "pozos de gravedad" de los planetas, es decir, para asignarles números que indiquen razonablemente la dificultad de la huida, debemos ponernos de acuerdo sobre R. Como los cohetes suelen lanzarse desde las superficies planetarias, las velocidades de escape se calculan utilizando el radio planetario como R.

Pero, dado que las misiones interplanetarias suelen tener etapas separadas para la inserción en órbita y los quemados de escape (o podrían en el futuro partir de puestos avanzados en órbita), también es instructivo dar la velocidad de escape partiendo de una órbita baja (es decir, desde la altura $R_\mathrm{planet}+h_\mathrm{atmosphere}$ ) En este caso basta con restar su velocidad orbital a la velocidad de escape para obtener la $\Delta v $ necesario para llegar al espacio interplanetario

Answer 5

La distancia entre los dos objetos es siempre la que explica la velocidad de escape. La velocidad de escape para la Tierra se calcula desde la superficie de la misma. En la superficie, la velocidad de escape resulta ser de alrededor de $11.2 \:\rm km/s$ . $R$ dada en el problema es la distancia inicial entre el objeto y el centro de la masa que también resulta ser el radio de la Tierra ya que estamos lanzando cohetes desde la superficie de la tierra. A medida que subimos la distancia entre el cohete y la tierra aumenta y por lo tanto la velocidad de escape disminuye.