En "A tutorial on countable ordinals" [1], en la página 25, Forster utiliza el hecho de que $\aleph_1 \leq 2^{\aleph_0}$ es independiente de ZF para demostrar que no existe una familia definible de secuencias fundamentales hasta $\omega_1$ . Sé que la prueba debe ser técnica, y no encuentro en ningún sitio una prueba de ello. ¿Alguien sabe de algún libro o documento que lo demuestre? Gracias.
Respuesta
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Los lugares más fáciles para encontrar esta prueba de consistencia son los siguientes documentos:
Solovay, R. M. , Un modelo de teoría de conjuntos en el que todo conjunto de reales es medible por Lebesgue , Ann. Math. (2) 92, 1-56 (1970). ZBL0207.00905 .
Truss, John , Modelos de teoría de conjuntos que contienen muchos conjuntos perfectos , Ann. Math. Logic 7, 197-219 (1974). ZBL0302.02024 .
Algunas observaciones:
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Si $\aleph_1\nleq2^{\aleph_0}$ , entonces no hay ningún número real $x$ tal que $L[x]$ calcula $\omega_1$ correctamente. Por lo tanto, $\omega_1$ es un cardinal límite en $L$ .
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Si se asume que la elección contable es válida para conjuntos de números reales, entonces $\omega_1$ es regular, y por lo anterior, es inaccesible en $L$ . Si no te importa $\omega_1$ siendo singular, entonces puedes hacerlo bien sin asumir grandes cardenales.
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El famoso Modelo Feferman-Levy es otro ejemplo de esta situación. En ese modelo $\Bbb R$ es una unión contable de conjuntos contables. Creo que el artículo original sólo se publicó como nota en Notices of the AMS, pero se pueden encontrar presentaciones modernas en los libros de Jech, así como en numerosas tesis de máster y de doctorado a lo largo del año (por ejemplo, las tesis de Ioanna M. Dimitriou presentan la construcción como un ejemplo de extensión simétrica).
Obsérvese que, en cualquier caso, es necesario utilizar algún tipo de forzamiento y simetrías. Dependiendo de tu formación en teoría de conjuntos, esto puede ser una lectura sencilla (el artículo de Solovay es muy legible), o una batalla cuesta arriba.
