Ordena esos 3 valores logarítmicos sin usar calculadora

Question

Me pareció interesante este problema, en el que se nos dan tres valores: $$\log_{1/3}{27}, \log_{1/5}{4}, \log_{1/2}{5}$$

Queremos ordenar esos valores sin usar calculadora. Así que decidí trabajarlos un poco antes de comparar nada. Esto es lo que obtuve:

En primer lugar: $\log_{1/3}{27} = \log_{1/3}{3^3} = \log_{1/3}{(\frac{1}{3})^{-3}} = -3\\ \log_{1/5}{4} = \log_{1/5}{2^2} = 2 \cdot \log_{1/5}{2} = 2 \cdot \log_{5^{-1}}{2} = -2 \cdot \log_{5}{2}$

Desde $\log_{5}{2} < 1, \text{then: } -2\cdot \log_{5}{2} > -2 $

Y el tercer valor: $\log_{1/2}{5} = \log_{2^{-1}}{5} = -\log_{2}{5}$

Desde $2 < \log_{2}{5} < 3, \text{then: } -2 > -\log_{2}{5} > -3 $

Esto nos muestra que los primeros valores son los más pequeños, después el tercero y por último el segundo: $$\log_{1/3}{27}, \log_{1/2}{5}, \log_{1/5}{4}$$

¿Es correcto mi planteamiento o he cometido algún error, podemos obtener valores más exactos para esos logaritmos sin usar calculadora.

Answer 1

Como alternativa y para comprobar recuerde que

$$\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$$

es decir

$$\log_{\frac13}27=\frac{\log_2 27}{\log_2\frac13}=-\frac{\log_2 3^3}{\log_2 3}=-3$$

$$\log_{\frac15}4=\frac{\log_2 4}{\log_2 \frac15}=-\frac{\log_2 2^2}{\log_2 5}=-\frac{2}{\log_2 5}$$

$$\log_{\frac12}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 \frac12}=-\frac{\log 5}{\log_2 2}=-\log_2 5$$

por lo tanto, como usted ha dicho

$$\log_{\frac13}27<\log_{\frac12}5<\log_{\frac15}4$$

Answer 2

Para mayor claridad, tomaremos las inversas de las bases, lo que invertirá el orden ( $\log_{1/x}y=-\log_x y$ ).

Tenemos

$$\log_3{27}=3,$$

$$\log_54<1,$$ porque $4<5^1$ y $$1<\log_25<3$$

porque $2^1<5<2^3$ .

El resto es suyo.

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Respuesta corta:

$$\log_54<1<\log_25<3=\log_327$$

y

$$\log_{1/5}4>\log_{1/2}5>\log_{1/3}27.$$