Estoy en busca de un casi-continua en todas partes y de forma monotónica $f:[0,1]^2\to[0,1]$ con las siguientes propiedades:
- $f(x,y)=f(y,x)$
- $f(0,y)=0$ $f(1,y)=1$ (por lo $f(0,1)$ $f(1,0)$ son indefinidos)
- $f(x,y)=1-f(1-x,1-y)$
- por lo tanto, $f(0.5,0.5)=0.5$
- $\int_0^1f(x,y)dy=x$
Aquí es lo que debe verse como
Hay funciones teniendo esas propiedades?
Y si sí, ¿cuál?
Si es posible, preferiría no demasiado complicado de la función.
He aquí una aclaración:
Por "forma monotónica $f:[0,1]^2\to[0,1]$" que significa "función para la cual, para cualquier $y\in [0,1]$, la función de $f_y: [0,1]\to[0,1]$, de modo que $f_y(x)=f(x,y)$ es monótona (y recíprocamente por el intercambio de $x$$y$)".
Aquí están mis intentos hasta ahora:
- hay una singular "discontinuo" solución: la función es igual a 0, cuando $x+y\lt1$ y a 1 cuando $x+y\gt1$; no es realmente una solución, ya que es discontinua, pero puede ser un motor de arranque
- si usted conoce a un invertible y monótona de la función$g$$[0,1]$$g(0)=\infty$$g(1)=0$, se pueden combinar de la siguiente forma: $f(x,y)=g^{-1}(g(x)g(y))$ y ya tienen las propiedades 1 y 2
- para hacer cumplir la propiedad 4 se puede definir en lugar de $f(x,y)=g^{-1}(\frac{g(x)g(y)}{g(0.5)})$
- para hacer cumplir la propiedad 3 (y 4) se puede definir en lugar de $f(x,y)=h^{-1}(\frac{h(g^{-1}(\frac{g(x)g(y)}{g(0.5}))+h(1-g^{-1}(\frac{g(1-x)g(1-y)}{g(0.5)}))}{2})$, con una generalizada $h$-media, pero está empezando a poner feo ($\frac{1}{g(0.5)}$parece ser obligatorio tener la forma correcta, pero no puedo explicar por qué)
- si tratamos de con $g=ln$, obtenemos $f(x,y)=exp(\frac{ln(x)ln(y)}{ln(0.5)})$, pero no tenemos la propiedad 3, así que tenemos que cambiar a $f(x,y)=h^{-1}(\frac{h(exp(\frac{ln(x)ln(y)}{ln(0.5)}))+h(1-exp(\frac{ln(1-x)ln(1-y)}{ln(0.5)}))}{2})$, pero no puedo encontrar una $h$ que le permitan tener la propiedad 5: usando el poder de los medios (con $h(x)=x^p$), en $y=0.5$ propiedad 5 siempre se mantiene, pero en $y=0.25$, siempre me ha $\int_0^1f(0.25,y)dy\gt x$. Parece disminuir con $p$, pero incluso con $p=-\infty$ (que corresponde a la mínima, en lugar de un decir), he a $\int_0^1f(0.25,y)dy=0.276657\gt x$
- idem para $g=arctanh$: el mínimo es de $0.2703866$
- es ligeramente mejor con $g=x^{-1}-1$: obtenemos $f(x,y)=((x^{-1}-1)(y^{-1}-1)+1)^{-1}$, con lo que las propiedades 1, 2, 3 y 4 ya, pero lamentablemente no de la propiedad 5: $\int_0^1f(x,y)dy=x\frac{2x-1+2(x-1)arctanh(2x-1)}{(2x-1)^2}\neq x$
Aquí está el fondo:
Esta pregunta sigue este: estoy tratando de encontrar una manera de calcular (o aproximado) $Pr(S|A B)$ $Pr(S|A)$ $Pr(S|B)$ (y posiblemente $Pr(S)$), y sabiendo que $A$ $B$ son independientes, y que si $Pr(S|A_1)\geq Pr(S|A_2)$ $Pr(S|A_1 B)\geq Pr(S|A_2 B)$.
La última condición no estaba presente en la pregunta inicial, pero me parece útil: si la habilidad categorías están bien definidos, un jugador que es mejor en una categoría de habilidades que otro jugador debería ser mejor en cualquier prueba de habilidad de esta categoría que el otro jugador.
