¿Es cierta esta fórmula de la suma de Riemann para la integral definida utilizando números primos?

Question

Mientras contestaba a otro pregunta en MSE En el caso de los números primos, había utilizado el siguiente resultado, que creía que era una consecuencia trivial del teorema de los números primos y de la equidistribución. Sin embargo, me di cuenta por los comentarios de que mucha gente pensaba que no era cierto o que era contraintuitivo. Por lo tanto, estoy publicando esto como una pregunta en busca de una prueba o refutación.

Dejemos que $p_k$ sea el $k$ -año primo y $f$ sea una función continua integrable de Riemann en $(0,1)$ tal que

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{r = 1}^{n}f\Big(\frac{r}{n}\Big) = \int_{0}^{1}f(x)dx.$$

Entonces, $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{r = 1}^{n}f\Big(\frac{p_r}{p_n}\Big) = \int_{0}^{1}f(x)dx.$$

Mi prueba se basó en mostrar que como $n \to \infty$ los ratios $p_r/p_n$ se acercó a la equidistribución en $(0,1)$ por lo que la integral se sigue como una propiedad trivial de la secuencia equidistribuida.

Motivación : Hay varias identidades, límites, etc. de los números primos que pueden demostrarse fácilmente con esta sencilla fórmula, incluidas todas las respuestas a las tres preguntas sobre las medias aritméticas, geométricas y armónicas de los primos mencionadas en el enlace anterior.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario

Dividir $[0,1]$ en $$[0,p_1/p_n],[p_1/p_n,p_2/p_n],\cdots,[p_{n-1}/p_n,1]$$

Entonces, utilizando la suma de Riemann, tenemos $$I:=\int^1_0f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}f\left(\frac{p_k}{p_n}\right)\frac{p_{k+1}-p_k}{p_n}$$

Si asumimos que $p_j=j\ln j$ , $$I=\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}f\left(\frac{p_k}{p_n}\right)h(k,n)+\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum^n_{k=1}f\left(\frac{p_k}{p_n}\right) \qquad{(1)}$$ donde $$h(k,n)=\frac{(k+1)\ln(k+1)-k\ln k}{n\ln n}-\frac1n$$

Se puede demostrar que $$h(k,n)\le h(n,n)=O(\frac1{n\ln n})$$

Por lo tanto, el valor absoluto del primer término en $(1)$ tiene como límite superior $$h(n,n)\cdot nM\to 0$$ donde $M$ es una constante positiva. Esto nos lleva a nuestro resultado deseado.

No estoy seguro de que este argumento pueda ser riguroso. Lo revisaré cuando tenga tiempo libre.

Answer 2

Publicar esto como una respuesta en lugar de un comentario porque contiene la respuesta real. Como no obtuve una respuesta concluyente en MSE, publiqué la pregunta en MO donde se proporcionó una prueba rigurosa.

https://mathoverflow.net/questions/311085/calculating-limits-using-integration-for-sequence-of-prime-numbers