¿Hay más de una fórmula de "mediana"?

Question

En mi trabajo, cuando las personas se refieren al valor "media" de un conjunto de datos, generalmente se refieren a la media aritmética (es decir, "promedio" o "valor esperado"). Si proporcionara la media geométrica, probablemente pensarían que estoy siendo sarcástico o poco útil, ya que la definición de "media" se conoce de antemano.

Estoy tratando de determinar si hay múltiples definiciones de la "mediana" de un conjunto de datos. Por ejemplo, una de las definiciones proporcionadas por un colega para encontrar la mediana de un conjunto de datos con un número par de elementos sería:

Algoritmo 'A'

• Divide el número de elementos por dos, redondea hacia abajo.
• Ese valor es el índice de la mediana.
• es decir, para el siguiente conjunto, la mediana sería 5.
• [4, 5, 6, 7]

Esto parece tener sentido, aunque el aspecto de redondear hacia abajo parece un poco arbitrario.

Algoritmo 'B'

En cualquier caso, otro colega ha propuesto un algoritmo separado, que estaba en un libro de estadísticas de él (necesito obtener el nombre y autor):

• Divide el número de elementos por 2 y guarda una copia de los enteros redondeados hacia arriba y hacia abajo. Nómbrelos n_lo y n_hi.
• Toma la media aritmética de los elementos en n_lo y n_hi.
• es decir, para el siguiente conjunto, la mediana sería (5+6)/2 = 5.5.
• [4, 5, 6, 7]

Esto parece estar mal, ya que el valor de la mediana, 5.5 en este caso, en realidad no está en el conjunto de datos original. Cuando cambiamos el algoritmo 'A' por 'B' en algo de código de prueba, falló horriblemente (como esperábamos).

Pregunta

¿Existe un nombre formal para estos dos enfoques para calcular la mediana de un conjunto de datos? ¿es decir, "menor-de-los-dos mediana" versus "promedio-de-los-elementos-intermedios-y-crear-nueva-mediana-de-datos"?

Answer 1

Lo que dice @Sycorax.

De hecho, hay sorprendentemente muchas definiciones de cuantiles generales, y en particular también de medianas. Hyndman & Fan (1996, The American Statistician) ofrecen un resumen que, hasta donde yo sé, sigue siendo completo. Los diferentes tipos no tienen nombres formales. Simplemente necesitas ser claro en qué tipo estás utilizando. (A menudo no marca una gran diferencia con conjuntos de datos de tamaños realistas.)

Es importante tener en cuenta que es comúnmente aceptado tener un valor que no esté presente en el conjunto de datos como la mediana, por ejemplo, 5.5 como mediana para (4, 5, 6, 7). Este es el comportamiento predeterminado en R:

> median(4:7)
[1] 5.5

La función median() de R por defecto utiliza el tipo 7 de la clasificación de Hyndman & Fan.

Answer 2

TL;DR - No tengo conocimiento de que se den nombres específicos a diferentes estimadores de medianas de muestras. Los métodos para estimar estadísticas de muestras a partir de algunos datos son bastante complicados y diferentes recursos dan diferentes definiciones.

En Introducción a la Estadística Matemática de Hogg, McKean y Craig, los autores proporcionan una definición de medianas de muestras aleatorias, ¡pero solo en el caso de que haya un número impar de muestras! Los autores escriben

Ciertas funciones de las estadísticas de orden son importantes estadísticas en sí mismas... si $n$ es impar, $Y_{(n+1)/2}$ ... se llama la mediana de la muestra aleatoria.

Los autores no dan ninguna orientación sobre qué hacer si tienes un número par de muestras. (Nótese que $Y_i$ es el dato más pequeño en la posición $i$.)

Pero esto parece ser innecesariamente restrictivo; preferiría poder definir la mediana de una muestra aleatoria para un número par o impar de $n$. Además, me gustaría que la mediana sea única. Dadas estas dos condiciones, tengo que tomar algunas decisiones sobre cómo encontrar mejor una mediana de la muestra única. Tanto el Algoritmo A como el Algoritmo B cumplen con estos requisitos. Imponer requisitos adicionales podría eliminar uno o ambos de la consideración.

El Algoritmo B tiene la propiedad de que la mitad de los datos están por encima del valor y la otra mitad de los datos están por debajo del valor. A la luz de la definición de la mediana de una variable aleatoria, esto parece bueno.

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Si un estimador en particular rompe las pruebas unitarias es una propiedad de las pruebas unitarias: las pruebas unitarias escritas para un estimador específico no necesariamente se mantendrán cuando se sustituya por otro estimador. En el caso ideal, las pruebas unitarias se eligieron porque reflejan las necesidades críticas de tu organización, no por una discusión doctrinaria sobre definiciones.

Answer 3

En la función mad de R, utiliza los términos "lo-mediana" para decribir su algoritmo A, "hi-mediana" para describir el redonde hacia arriba, y simplemente "mediana" para describir su algoritmo B (que, como otros han señalado, es de lejos la definición más común).

¡Curiosamente, no existe tal opción en la función median() de R! (Pero la función quantile() de R tiene type para un control más preciso.)