Convergencia del binomio a la normalidad

Question

Problema: Vamos a $X_n \sim \operatorname{Bin}(n,p_n) $ donde$p_n \xrightarrow{} 0$$np_n \xrightarrow{} \infty$. Lo que necesito es mostrar que

$$\frac{X_n - np_n}{\sqrt{np_n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \text{ as } n\xrightarrow{} \infty.$$ Mis pensamientos: Mi primer pensamiento fue para establecer $$Y_n=\frac{X_n - np_n}{\sqrt{np_n}}$$ e investigar $P(Y_n=k) = p_{X_n}(\sqrt{np_n}k + np_n) $ $n$ va al infinito, pero esto condujo a muy desordenado cálculos, así que no sé si es el enfoque correcto. Mi segundo intento fue con el Teorema del Límite Central, la reescritura de $X_n$ como una suma de variables aleatorias de Bernoulli, $X_n = Z_1 + \dots + Z_n$, $Z_n \sim \operatorname{Be}(p_n)$. La expectativa y la varianza de cada una de las $Z_i$ es dependiente de $n$ en ese caso. Se que infrinjan cualquiera de los supuestos en CLT?

Prefiero trabajar a cabo este tipo de preguntas de definición en lugar de utilizar un teorema y de los resultados anteriores, así que si alguien me puede mostrar que iba a estar muy agradecido!

Gracias.

Answer 1

Me gustaría hacerlo en dos pasos. Primera toma de $n\to \infty$$p\to 0$, manteniendo $np=m$ para algunos finito de enteros $m$. Que te trae de la distribución Binomial a la distribución de Poisson con parámetro de $m$ porque $$ P(X_n=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\approx\frac{1}{k!}\left(\frac{pn}{1-p}\right)^k(1-p)^n \rightarrow\frac{m^k}{k!}e^{m}. $$ Luego de ver esta distribución de Poisson con parámetro de $m$ como el resultado de sumar a $m$ independiente de Poisson variables aleatorias, cada una con el parámetro $1$. Usted puede utilizar el teorema del límite central para tomar $m\to\infty$.