Una pregunta sobre los parámetros de la distribución de Gamma en la econometría bayesiana

Question

El artículo de la Wikipedia sobre la distribución Gamma, listas de dos diferentes métodos de parametrización, uno de ellos utiliza con frecuencia en la econometría Bayesiana con $\alpha>0$ y $\beta>0$, $\alpha$ es la forma de parámetros, $\beta$ es la tasa parámetro.

$$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\beta).$$

En un econometría Bayesiana libro de texto escrito por Gary Koop, la precisión paramether $\frac{1}{\sigma^2}=h$ sigue una distribución Gamma, que es una distribución previa

$$h\sim \mathrm{Gamma}(\underline{s}^{-2},\underline{\nu}),$$

donde $\underline{s}^{-2}$ es decir $\underline{\nu}$ grados de libertad de acuerdo a su Apéndice. También se $s^2$ es el error estándar con la definición

$$s^2=\frac{\sum(y_i-\hat{\beta}x_i)}{\nu}.$$

Así que para mí, estos dos definición de la distribución Gamma son completamente diferentes, ya que la media y las desviaciones serán diferentes. Si seguimos la definición de wikipedia, la media se $\alpha/\beta$, no $\underline{s}^{-2}$.

Estoy muy confundido aquí, alguien podría ayudarme a streighten los pensamientos aquí?

Answer 1

Creo que el artículo de Wikipedia se refiere a una forma específica de la distribución gamma conocida como$\chi^2$. Chi cuadrado es$\rm{Gamma}(\nu,1/2)$ y$s^2$ sería la constante por la que se multiplica la variable aleatoria$\chi^2$ para obtener una variable aleatoria con la distribución de una estimación de varianza. Eso es$\alpha=\nu$ y$\beta=1/2$. Es s que es el error estándar y no$s^2$. En el artículo al que hizo referencia,$\chi^2$ aparece en casos especiales (segundo punto).

Answer 2

Es costumbre imponer (como previo) la distribución gamma a$h=\frac{1}{\sigma^2}$ o la distribución gamma inversa a$\sigma^2$. Entonces, el posteior tendrá una apariencia hermosa. Creo que puede asignar una distribución gamma a$\sigma^2$, y aún todos los cálculos para derivar el marginal integrando out$\sigma^2$ pasarán.