Mostrar isomorfismo $W_1 \hookrightarrow V \twoheadrightarrow W_2$

Question

Permita que$\langle , \rangle$ sea una forma bilineal no degenerada con la firma$(p,q)$% en un espacio vectorial real$V$% y$W_1, W_2$ subespacios, de modo que la restricción$\langle , \rangle |_{W_i}$ no sea degenerar con la firma$(p,0)$.

Demuestre que para la descomposición de suma directa ortogonal$V = W_2 \oplus W_2^\perp$ y la proyección inducida$V \to W_2$ la composición$$W_1 \hookrightarrow V \twoheadrightarrow W_2$ $ es un isomorfismo.

Answer 1

La firma de $(p,q)$ de la bilineal forma le otorga la máxima dimensiones de los subespacios en los que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es positivo, respectivamente negativa definitiva.

De ahí la premisa de que la restricción de la forma bilineal a ambos $W_i$ es no degenerada con la firma de $(p,0)$ significa

• $\dim W_1 = \dim W_2 = p$,
• $\langle\cdot,\cdot\rangle\lvert_{W_i}$ es positiva definida, y
• $\langle\cdot,\cdot\rangle$ no es positiva definida en cualquier subespacio correctamente que contiene una de las $W_i$.

Ahora, con la inyección de $\iota \colon W_1 \hookrightarrow V$ y la proyección de $\pi \colon V \twoheadrightarrow W_2$ con kernel $W_2^\perp$, ya que las dimensiones de $W_1$ $W_2$ son los mismos, la composición de la $\pi \circ \iota$ es un isomorfismo si y sólo si es inyectiva. Tenemos

$$\ker (\pi\circ \iota) = \iota^{-1}(\ker \pi) = W_1\cap \ker\pi = W_1 \cap W_2^\perp,$$

así que debemos probar que $W_1\cap W_2^\perp = \{0\}$.

Consideremos el subespacio $U = W_2 \oplus (W_1 \cap W_2^\perp)$$V$. Deducir que $\langle\cdot,\cdot\rangle\lvert_U$ es positiva definida, y por lo tanto, $\pi\circ\iota$ es un isomorfismo.