¿Convergen $\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(\ln n)^2}{n^2}}$?

Question

Estoy tratando de averiguar si\begin{equation} \sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{(\ln n)^2}{n^2}} \end{equation}

es convergente o divergente, pero sólo uso comparación prueba o prueba de la relación.

Dio algún pensamiento, pero me confundió logaritmos. Saludos y muchas gracias.

Answer 1

Como para todas las $\,n\,$ grande suficiente tenemos que $\,\log n<n arbitraria="" con="">0\;$, obtenemos</n>

$$\frac{\left(\log n\right)^2}{n^2}

Answer 2

Hay más de una forma. Comparar a la integral: $$ I=\int_{1}^{\infty}\bigg(\frac{\log x}{x}\bigg)^2dx $$ También tenga en cuenta $\frac{\log x}{x^2}<\big(\frac{\log x}{x}\big)^2<\frac{\log x}{x}<\frac{\log^2 x}{x}$y el límite de todas estas secuencias es $0$$x \to \infty$. Ahora me integrar por partes de la manera siguiente: $$ I=\int_{0}^{\infty}1 \cdot \bigg(\frac{\log x}{x}\bigg)^2dx=\frac{\log^2 x}{x}\bigg|^{\infty}_{1}-2 \int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{x^2}dx+2 \int_{1}^{\infty}\bigg(\frac{\log x}{x}\bigg)^2dx \\ =-2\int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{x^2}dx+2I $$ así que usted consigue $$ I=2\int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{x^2}dx $$ De nuevo integrar la expresión de RHS por partes para obtener $$ I=2(0+\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^2})=2 $$ Por lo tanto la suma original converge demasiado.

Answer 3

Para probar el $\ln n

Desde $e^x \ge 1+x > x$, $x > \ln x$ %.

Ahora ver: los dedos nunca dejan las manos!

Sustituir $x^{\epsilon}$ $x$. Entonces $x ^ {\epsilon} > \ln (x ^ {\epsilon}) = {\epsilon} \ln x $ % que $\ln x

Ajuste del ${\epsilon}=\frac{1}{m}$, $\ln x