La distancia Euclídea métrica de Schwarzschild describiendo un colector (un agujero negro, aunque esto no es relevante para la cuestión) está dada por,
$$\mathrm{d}s^2 = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2$$
donde $\tau$ es periódica, por lo tanto el colector es topológicamente equivalente a $\mathbb{R}^2 \times S^2$. El límite del colector es descrito por una métrica,
$$(\mathrm{boundary}):\mathrm{d}s^2=\left( 1-\frac{2GM}{R}\right)\mathrm{d}\tau^2 + R^2 \mathrm{d}\theta^2 + R^2 \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2$$
donde se introduce una radial 'cortar' o regulador $R > GM$. El profesor afirmó entonces que los apuntando hacia el interior de la unidad vector normal fue dada por,
$$n^a = -\delta^a_r \sqrt{1-\frac{2GM}{R}}$$
¿Cómo se obtiene esta normal? Además, ¿cómo se realiza, en general, para cualquier métrica, encontrar las normales a la frontera? Yo también vi a otro profesor de escritura que lo relevante era normal,
$$n=-\sqrt{1-\frac{2GM}{R}} \frac{\partial}{\partial r}$$
¿Cómo es un vector normal? No tiene los índices, y la $\partial / \partial r$ sugiere que se trata de un operador, en lugar de un vector.
